Calcular; $\lim_{x\to\infty}\frac{(1-y^{x-1}\frac{x-1}{2})xy^{x-1}}{1-xy^{x-1}}$ con $0 \leq y <1$.

Question

Demuestre que$$\lim_{x\to\infty}\frac{(1-y^{x-2}\frac{x-1}{2})xy^{x-1}}{1-xy^{x-1}}=1$$ where $ x \ in \ mathbb {N}$ ($ x \ neq 0$) and $ 0 \ leq y <1 $.

Logré multiplicar por$\frac{2}{2}$ para obtener$$\lim_{x\to\infty}\frac{[2-y^{x-1}(x-1)]xy^{x-1}}{2-2xy^{x-1}}$ $ Y luego, a través de la expansión y reorganización:$$\lim_{x\to\infty}\frac{(2-2xy^{x-1})xy^{x-1}+x^{2}y^{2x-2}+xy^{2x-2}}{2-2xy^{x-1}}$ $ Lo que obviamente resulta en:$$\lim_{x\to\infty}\bigg(\frac{xy^{x-1}}{2-2xy^{x-1}}+\frac{x^{2}y^{2x-2}+xy^{2x-2}}{2-2xy^{x-1}}\bigg)$ $

Sin embargo no sé cómo seguir desde aquí.

Answer 1

El caso$y=0$ trivialy da cero. Dejar $y>0$

Ahora desde$0<y<1\implies \ln y<0$ entonces

$$\color{red}{\lim_{x\to\infty } (x-1)\ln y =-\infty}$ $ entonces, tenemos,

PS

De manera similar,$$ \lim_{x\to\infty} \frac{x-1}{2}y^{x-1} = \lim_{x\to\infty}\frac{x-1}{2}\exp\left((x-1)\ln y\right) \\\overset{\color{blue}{u=(x-1)\ln y}}{=}\frac{1}{2\ln y}\lim_{\color{red}{u\to-\infty}}u\exp\left(u\right) =0.$ $ Por lo tanto,$$ \lim_{x\to\infty}xy^{x-1} =0$ $