Una pregunta sobre la lógica proposicional.

Question

Buen día, actualmente estoy estudiando para un examen y necesito aprender sobre lógica proposicional. Bueno, ya que no soy bueno con el inglés, solo escribiré lo que he hecho hasta ahora:

$(A \land (B \rightarrow \neg A)) \rightarrow \neg B$

Comencé así:

$(A \land (\neg B \lor \neg A)) \rightarrow \neg B$

$\neg (A \land (\neg B \lor \neg A)) \lor \neg B$

$\neg A \lor \neg (\neg B \lor \neg A)) \lor \neg B$

$\neg A \lor (B \land A) \lor \neg B$

$\neg A \lor \neg B \lor (B \land A) $

Y creo que es lo mismo que:

$( \neg A \lor A) \land (\neg B \lor B) $

¿Estoy en el camino correcto? Porque realmente ya no estoy seguro. Sin embargo, creo que esto es una tautología.

Answer 1

Bueno, en este estilo de argumentación, ¿por qué no proceder de tu cuarta línea?

PS

reorganizando

PS

De dónde

PS

que es de la forma

PS

Y de ahí una tautología. Así que el wff original es una tautología como querías mostrar.

Answer 2

Te acercas a ella de una manera razonable. Esencialmente el mismo enfoque se puede organizar un poco más claramente. Voy a empezar por la simplificación de la parte de la expresión:

$$\begin{align*} A\land(B\to\neg A)&\equiv A\land(\neg B\lor\neg A)\\ &\equiv(A\land\neg B)\lor(A\land\neg A)\\ &\equiv(A\land\neg B)\lor\bot\\ &\equiv A\land\neg B\;, \end{align*}$$

donde $\bot$ es un símbolo de una contradicción, algo que siempre es falsa; puede estar acostumbrado a escribir F o similares en su lugar. Entonces

$$\begin{align*} \big(A\land(B\to\neg A)\big)\to\neg B&\equiv(A\land\neg B)\to\neg B\\ &\equiv\neg(A\land\neg B)\lor\neg B\\ &\equiv(\neg A\lor\neg\neg B)\lor\neg B\\ &\equiv(\neg A\lor B)\lor\neg B\\ &\equiv\neg A\lor(B\lor\neg B)\\ &\equiv\neg A\lor\top\\ &\equiv\top\;, \end{align*}$$

donde $\top$ es un símbolo para una tautología, algo que siempre es verdadera.

Tenga en cuenta que siempre se puede determinar si una expresión proposicional es una tautología mediante el uso de una tabla de verdad; esto puede ser una forma útil de verificar, incluso cuando usted está obligado a producir una expresión algebraica argumento.