Máximo y mínimo de $f(x)=\cos(\sin(x))-\sin(\cos(x))$

Question

Dada la función: $$f(x)=\cos(\sin(x))-\sin(\cos(x))$$ tiene máximos absolutos en $x=(2k+1)\pi$ con $k=0,1,..N$ y máximos relativos en $x=2k\pi$. No está claro dónde se encuentran los mínimos. Poner la derivada en cero no ayuda. ¿Alguna sugerencia sobre cómo encontrar el valor mínimo y dónde está? Gracias.

Answer 1

$f(x)$ es una función $2\pi$-periódica, cuyo gráfico es simétrico respecto a $x=\pi$, por lo que es suficiente estudiar $f(x)$ en el intervalo $[0,\pi]$. Tenemos:

$$f'(x) = \sin(x)\cos(\cos x)-\cos(x)\sin(\sin x)$$ por lo tanto, los puntos extremos de $[0,\pi]$ son puntos estacionarios debido a la anulación de $\sin(x)$ y $\sin(\sin x)$. Existe un tercer punto estacionario dentro de ese intervalo (un mínimo absoluto) asociado con la solución (única en $(0,1)$) de una ecuación trascendental, $$\frac{\sin u}{u}=\frac{\cos\sqrt{1-u^2}}{\sqrt{1-u^2}}.$$ Numéricamente, el primer mínimo relativo ocurre en $x_0 \approx 0.69272857$ y $$f(x_0)\approx 0.107127,$$ por lo tanto, tenemos: $$\boxed{\forall x\in\mathbb{R},\qquad \cos(\sin(x))-\sin(\cos x)\geq \frac{1}{10_{\phantom{}}}.}$$