Extensiones de campo iguales

Question

Deje que$K$ sea un campo,$a_1, a_2, ..., a_n$ sea algebraico sobre$K$ y$c_1, ..., c_n \in K$. Mi pregunta es sobre la extensión$K[a_1, ..., a_n]$.

¿Es posible tener una extensión$K[c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n]$ que no sea igual a$K[a_1, ..., a_n]$ si$a_1, a_2, ..., a_n$ son linealmente independientes, no cero y$c_i \neq 0$ para todos$i$?

Lo he intentado pero todavía no he encontrado nada.

Gracias

Answer 1

Toma$K=\mathbb Q$ y$n=4$ y deja$a_i=\omega^i$, donde$\omega$ es una primitiva$5$ - raíz de la unidad.

Luego los$a_i$ son linealmente independientes sobre$\mathbb Q$.

De hecho,$c_1 \omega + c_2 \omega^2 + c_3 \omega^3 + c_4 \omega^4 = 0$ implica$c_1 \omega + c_2 \omega^2 + c_3 \omega^3 = -c_4 \omega^4 = c_4 (1+\omega + \omega^2 + \omega^3)$ porque$1+\omega + \omega^2 + \omega^3 +\omega^4=0$, y esto implica que todos$c_i=0$ porque$1,\omega,\omega^2,\omega^3$ son linealmente independientes sobre$\mathbb Q$.

Tome$c_1a_1+c_2a_2+c_3a_3+c_4a_4$ con todos los$c_i=1$.

Luego$c_1a_1+c_2a_2+c_3a_3+c_4a_4=\omega + \omega^2 + \omega^3 +\omega^4=-1$ y así$K[c_1a_1+c_2a_2+c_3a_3+c_4a_4]=\mathbb Q$, pero$K[a_1, a_2, a_3, a_4]=\mathbb Q(\omega)\ne \mathbb Q$.

Answer 2

Considere un campo de característica finita$p >0$, por ejemplo,$\mathbb F_p$.

El campo de fracción algebraica de dos variables$K=\mathbb F_p(X,Y)$ es una extensión de campo finito de grado$p^2$ de$k=\mathbb F_p(X^p,Y^p)$. $X$ y$Y$ son independientes sobre$k$ y$k(Y^pX+Y) \subsetneq k(X,Y)$.

Para más detalles sobre las pruebas, puedes echar un vistazo aquí .

Answer 3

Considere cualquier ejemplo de una extensión finita$K\subset L$ (por ejemplo, de grado$n$) y un elemento distinto de cero $b\in L$tal que$K[b]\neq L$. Luego, podemos construir fácilmente una base$\{a_1,\dots,a_n\}$ para$L$ sobre$K$ de tal manera que si escribimos$b=\sum c_i a_i$, cada$c_i$ es distinto de cero. Por ejemplo, puede tomar$\{a_1,\dots,a_{n-1}\}$ como cualquier conjunto de$n-1$ elementos linealmente independientes de$L$ cuyo intervalo no contiene$b$, y luego dejar que$a_n=b-\sum_{i=1}^{n-1} a_i$.