Grado de Frobenius

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $p>0$ e $K/k$ ser un campo de función, es decir, $K$ es finita sobre $k(t)$. Considere la posibilidad de la extensión de campo $K \subseteq K^{1/p}$. ¿Por qué tiene grado $p$?

En el caso de $K = k(t)$ esto es claro, porque, a continuación, $K^{1/p} = k(t^{1/p})$ e $t^{1/p}$ tiene el grado $p$ sobre $K$, ya que el $x^p - t$ es irreducible sobre $K$ e ha $t^{1/p}$ como una raíz. Pero no sé cómo lidiar con el caso general.

Comentario: La igualdad de $[K^{1/p} : K] = p$ es utilizado en Hartshorne del libro, en el contexto de la Frobenius de morfismos de curvas.

Answer 1

Dado que, mientras escribe,$[k(t)^{1/p}:k(t)]=p$, el resultado sigue de$[K:k(t)]=[K^{1/p}:k(t)^{1/p}]$ por multiplicatividad de grados. $[K:k(t)]=[K^{1/p}:k(t)^{1/p}]$ se mantiene ya que el mapa$x\mapsto x^p$ es un isomorfismo$K^{1/p}\to K$ que se restringe a un isomorfismo$k(t)^{1/p}\to k(t)$ - es decir, las extensiones$K^{1/p}\supset k(t)^{1/p}$ y$K\supset k(t)$ son isomorfas.