Discontinuidad - No se sabe si la(s) ecuación(es) a trozos las tiene(n)

Question

Tengo una pregunta sobre si las funciones siguientes tienen una discontinuidad, y si no es así, cuáles son los puntos donde se encuentran dos funciones.

En primer lugar, la ecuación a destajo : \begin{align*} f(x)= \begin{cases} \sin(x), &\text{ if } 0 \leq x \leq 2\pi;\\ 0, &\text{ if } x<0 \text{ or } x>2\pi. \end{cases} \end{align*}

¿Cómo se llaman los puntos en $0$ y $2\pi$ ?. ¿Son una discontinuidad, como espero que no lo son, ya que no hay salto.

La segunda ecuación es : \begin{align*} f(x)= \begin{cases} \sin(x), &\text{ if }0 \leq x \leq \pi/2;\\ 0, &\text{ if } x<0;\\ 1, &\text{ if } x>\pi/2. \end{cases} \end{align*}

¿Cómo se llama el punto en $\pi/2$ ? ¿Se trata de una discontinuidad, y si no, cómo se describirían?

El motivo de esta pregunta es que estoy examinando filtros DSP y necesito asegurarme de que utilizo la terminología correcta al documentar los resultados y, además, asegurarme de que comprendo la teoría. Se ha dicho que la primera ecuación tiene discontinuidades, pero he examinado la definición y no estoy seguro.

Gracias y saludos, Código_X.

Answer 1

No sé si los puntos donde los componentes de la pieza sabio funciones de unirse a tener un nombre, pero la comprobación de si son discontinuidades, o no diferenciable puntos no es difícil.

Vamos a empezar con discontinuidades. Para que el punto de $p$ no a una discontinuidad, $$\lim_{x\to p^+} f(x) = \lim_{x\to p^-} f(x) = f(p)$$

En el caso de $p=0$, para su primera pieza de sabios función, ya que a $\sin(x)$ es continua, $$f(0) = \lim_{x\to0^+} f(x)$$

Así que todo lo que necesita ser demostrado es que el $\lim_{x\to0^-} f(x)=f(0)$, lo cual es evidente desde $$\forall x<0, f(x)=0$$

Para la segunda función definida a tramos, la misma lógica se aplica debido a que las funciones en este punto son los mismos.

Usted puede aplicar una lógica similar para el segundo punto de unión de la pieza-sabia función, pero, por supuesto, los casos de ambas funciones son un poco diferente. Ver qué tan lejos puedes llegar!

Por otro lado, si nos encontramos con un punto para ser continuas (es decir, $f(0)$), también podemos comprobar si podemos encontrar la derivada en el punto, o si el punto no es diferenciable en el punto de la función.

Lo hacemos con la siguiente fórmula :$$f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$$ If this exists, then it is differentiable. This exists iff $$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$$

En el caso de $p=0$, cuando $h>0$, $f(p+h)=sin(h)$ y $f(p)=sin(p)=0$, lo $$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(p+h)-f(p)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{\sin(h)}h = 1$$

Sin embargo, cuando $h<0$, $f(p+h)= 0$ y $f(p) = 0$, por lo que $$\lim_{h\to 0^-}\frac{f(p+h)-f(p)}{h} = \frac{0-0}h = 0$$ Since these one sided limits are not equal, the function is not differentiable at $p=0$. De nuevo, puede utilizar esta lógica en el otro punto donde la pieza-sabia funciones de combinación.