¿Pueden los conjuntos compactos determinar completamente una topología?

Question

Supongamos que $\tau_1$ y $\tau_2$ son dos topologías en un conjunto $X$ con la propiedad de que $K\subset X$ es compacto con respecto a $\tau_1$ si y solo si $K$ es compacto con respecto a $\tau_2$. ¿Entonces, esta información es suficiente para determinar si $\tau_1 = \tau_2$?

Si no (lo cual se sospecha que es el caso), ¿hay un contraejemplo interesante y cuál es la cantidad mínima de información adicional requerida para que $\tau_1 = \tau_2$?

Siento que podría haber un problema con respecto a los 'puntos en el infinito'.

Answer 1

No es suficiente información. Un simple (y quizás aterrador) contraejemplo es el siguiente: si $X$ es un conjunto no numerable, entonces tanto en las topologías discreta como cocountable, los conjuntos compactos son exactamente los conjuntos finitos. Es aterrador porque estas dos topologías comparten prácticamente ninguna propiedad: una es metrizable (por lo tanto, perfectamente normal), la otra ni siquiera es de Hausdorff; una es Lindelöf, y la otra tiene número de Lindelöf maximal.

No estoy seguro de qué información adicional se requeriría para concluir que dos topologías son iguales. (Voy a pensar más en esto.)

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Adición 1

La Hausdorffness no es suficiente. El espacio discreto en $\mathbb{N}$ y el espacio de Arens-Fort son ambos Hausdorff, y los subconjuntos compactos son exactamente los subconjuntos finitos, pero estos espacios no son homeomorfos. (Dado que ambos son numerables, podemos transferir la topología de uno al conjunto subyacente del otro, y los conjuntos compactos serán iguales.)

De hecho, este ejemplo muestra que la normalidad perfecta, la Lindelöfness y la paracompactness no son suficientes.

Answer 2

Considera un conjunto finito $X$, entonces todo subconjunto $A$ de $X$ es compacto en la topología trivial $\{\emptyset,X\}$, pero también todo subconjunto $A$ de $X$ es compacto en la topología discreta en X (la topología donde todos los subconjuntos de X se consideran abiertos). Si $|X|>1$, entonces estas topologías obviamente no son iguales.

Volveré a tu segunda pregunta si resulta que tengo algo útil que decir al respecto.