Encuentra dos$2\times2$ matriz real$A$ y$B$ de manera tal que$A$,$B$,$A+B$ son todos invertibles con$(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

Question

Encuentra dos$2\times2$ matrices reales$A$ y$B$ de tal manera que$A$,$B$,$A+B$ son todos invertibles con$(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

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Intenté escribir las matrices como$$A=\pmatrix {a&b\\c&d},B=\pmatrix {e&f\\g&h}$ $ y resolver$(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$, pero hacerlo demasiado complejo. ¿Alguna forma más conveniente?

Answer 1

Usted obtiene $I = (A^{-1}+B^{-1})(A+B) = I + A^{-1}B + B^{-1}A + I$. Así obtenemos:

$$(A^{-1}B) + (A^{-1}B)^{-1} = -I$ $$$(A^{-1}B)^2 + I = -(A^{-1}B)$ $

Entonces$A^{-1}B$ satisface el polinomio$x^2 + x + 1 = 0$. Toma cualquier matriz que satisfaga este polinomio; por ejemplo puedes tomar

PS

PS

Por lo tanto, puede tomar cualquier$$A^{-1}B = \begin{bmatrix} -1 &1 \\ -1&0 \end{bmatrix}$ invertible y producir$$B = A\begin{bmatrix} -1 &1 \\ -1&0 \end{bmatrix}$ de la forma deseada.

Answer 2

Desde$(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ podemos obtener$$A^{-1}B+B^{-1}A=-I \quad (*)$ $ ahora vamos a elegir$A=I$ para que (*) se convierta en$$B+B^{-1}=-I$$ If we choice $ B $ en una matriz diagonal, luego

$$B=\pmatrix {\alpha & 0\\0&\beta};B^{-1}=\pmatrix {\frac{1}{\alpha} & 0\\0&\ \frac{1}{\beta}} $ $ Luego, todo se hace resolviendo$$\alpha + \frac{1}{\alpha}=-1$ $

Answer 3

Usando la fórmula de

Inverso de la suma de matrices.

podemos tomar, para arbitrario$a,b$ con$a+b\neq 0$, $$ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \cr 0 & 2 \end {pmatrix}, \ quad B = \begin{pmatrix} a & b \cr \frac{2(a^2-a+1)}{a+b} & \frac{-2(b-ab+1)}{a+b} \end {pmatrix}. $$ Todos los$A$,$B$ y$A+B$ tienen un determinante$-2$. Es fácil comprobar que$(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$. Entonces tu camino no es demasiado "complejo".