Es$R[[x_1,x_2\dots]]$ un dominio de factorización único donde la notación significa sumas infinitas donde cada término es un producto finito sobre el$x_i's$ con coeficientes en$R$.
Estoy más interesado en el caso donde$R = \Bbb R$ o$\Bbb C$.
Respuesta
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La respuesta es sí, por lo suficientemente bonita $R$ (incluido el caso en $R$ es un campo). Esto fue demostrado por Hajime Nishimura en el papel "En el único teorema de factorización para poder formal de la serie", J. Math. Kyoto Univ. Volumen 7, Número 2 (1967), 151-160, disponible en acceso abierto en el Proyecto de Euclides.
La declaración precisa para countably muchas variables es como sigue:
Si el anillo de $R[[x_1, \ldots, x_n]]$ es una única factorización de dominio para cualquier entero positivo $n$, entonces también lo es $R[[x_1, x_2, \ldots]]$.
El anillo de $R[[x_1, x_2, \ldots]]$ es denotado por $R\{X\}_{\aleph_0}$ en el papel, donde los de arriba se encuentra como (un caso especial de) Teorema 1.
En particular, el resultado es true si $R$ es un campo, o incluso un director ideal de dominio.
