Como se ha señalado en otra parte, es posible que desee restringir la atención a orthocentric tetraedros, que es la familia de tetraedros cuyas altitudes comparten un punto en común que podemos llamar "el ortocentro". Tal tetraedros puede ser caracterizado de diversas maneras, aparte de la orthocentricity propiedad; lo que es más importante: cada par de lados opuestos determinar vectores ortogonales (de ahí el nombre alternativo de "ortogonal de tetraedros").
Esta respuesta a la pregunta relacionada con las menciones que ortogonal tetraedros de admitir una esfera que se cruza cada cara de la $9$-punto de círculo; este es el tetraedro del 24 puntos de la esfera. (Que es el tema de la Matemática Gaceta del artículo mencionado en la otra respuesta.) Interesante. He encontrado otro análogo, aunque con menos de veinte-cuatro puntos.
Lugar de las coordenadas de tetraedro $ABCD$ a
$$A=(0,0,-a) \qquad B=(0,0,b) \qquad C=(h,-c,0) \qquad D=(h,d,0)$$
Aquí, $h$ es la longitud de la "borde de la altitud", entre el $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$. (Un borde de altitud tiene sus extremos en dos bordes opuestos, y se determina el único de la línea perpendicular a ambos de los bordes). Las coordenadas proporcionadas asegurarse de que $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CD}$; garantizamos la ortogonalidad de los otros dos pares de opuestos, de borde con los vectores de la relación
$$h^2 = a b + c d$$
Las coordenadas del ortocentro son
$$Q = \left(\frac{ab}{h}, 0, 0\right)$$
(Dato curioso: Ortogonal tetraedros se caracterizan también como aquellos cuyo borde en tres altitudes de acuerdo. Además, el borde de la altitud y de la cara altitudes todos se encuentran en el mismo punto, $Q$.)
Sin demasiados problemas, uno puede encontrar los pies de los cuatro cara de altitud. Estos determinan una esfera con centro de $S$ y radio de $s$, donde
$$S = \left(\frac{a + b + h^2}{3 h}, \frac{-c + d}{6}, \frac{-a + b}{6}\right) \qquad
s^2 = \frac{h^2\left( (a+b)^2 + (c+d)^2 \right) - 4 a b c d}{36 h^2}$$
Se puede comprobar que esta esfera contiene
- El centroide de cada cara: $\frac13(A+B+C)$, etc.
- El tercer punto del segmento de la ortocentro a cada vértice: $\frac13(A+2Q)$, etc.
Estos puntos son análogos, respectivamente, en el punto medio de cada borde (por ejemplo, $\frac12(A+B)$), y el punto medio de la ortocentro-vértice del punto medio (por ejemplo, $\frac12(A+Q)$), en un triángulo de 9 puntos de círculo. (Curiosamente, vamos de "mitades" en dos dimensiones a "los tercios" en tres dimensiones. ¿Este patrón a seguir?)
Esta esfera no contienen el punto medio de cada borde, y por lo tanto no contiene el $9$-punto de giro de cada cara; esta esfera es distinta de la $24$-punto de la esfera.
Actualmente estoy inconsciente de cualquier otro "interesante" de puntos que puede estar en esta esfera. (Así que, por ahora, es sólo un "$12$-punto de la esfera".) Voy a notar que el borde de las intersecciones no son especialmente bonitas, por ejemplo, si $\frac{1}{1+m}(A+mB)$ es de la esfera, entonces
$$m = \frac{a + b \pm \sqrt{a^2 - 14 a b + b^2}}{4 b}$$
Edit. La aparición de un "1/3" en el (ahora suprimido) final de mi respuesta original me puso a pensar un poco más acerca de los poderes de los puntos con respecto a diversos ámbitos, que voy a denotar $\Sigma$ (el circumsphere), $\Sigma_{24}$ (el 24 de punto de la esfera), y $\Sigma_{12}$ (el 12 en punto de la esfera descrito anteriormente):
$$\begin{array}{rccclr}
\operatorname{pow}(Q,\Sigma_{12}) &=& -\dfrac{a b c d}{3h^2} &=& \phantom{-}\color{red}{\dfrac13}\;\operatorname{pow}(Q,\Sigma_{24}) = \left(\color{red}{\dfrac13}\right)^2 \; \operatorname{pow}(Q,\Sigma) \\[6pt]
\operatorname{pow}(A,\Sigma_{12}) &=& \dfrac{2a(a+b)}{3} &=& \phantom{-}\color{red}{\dfrac13}\;\operatorname{pow}(A,\Sigma_{24}) \color{gray}{\qquad(\operatorname{pow}(A,\Sigma_{\phantom{24}}) = 0)} \\[6pt]
\operatorname{pow}(H,\Sigma_{12}) &=& \dfrac{ab}{3} &=& -\color{red}{\dfrac13}\; \operatorname{pow}(H,\Sigma_{\phantom{24}}) \color{gray}{\qquad(\operatorname{pow}(H,\Sigma_{24}) = 0)}
\end{array}$$
donde $H$ es el extremo en $\overline{AB}$ de la orilla de altitud $h$. (En nuestro coordinatized tetraedro, $H$ se encuentra en el origen.) Como sucede, todos los seis de tales extremos mentira en los 24 puntos de la esfera, ya que todos los pies de altitud en una cara. (Es importante destacar que, las altitudes de los vecinos de caras se unen en estos puntos. Por ejemplo, la altitud de $C$ frente a $\triangle ABC$, y la altitud de $D$ frente a $\triangle ABD$, se encuentran en $H$.)
No estoy seguro de que (si algo) esto es tratando de decirme, pero es bastante limpio.
