¿Es$S=\{(1,t)\mid t\in \mathbb{R}\}$ un subespacio de$\mathbb{R}^2$?

Question

Mi profesor introdujo subespacios de$\mathbb{R}^n$ hoy y no creo que los entienda muy bien.

Puso esta pregunta como un ejemplo:

¿Es el conjunto$S=\{(1,t)\mid t\in \mathbb{R}\}$ un subespacio de$\mathbb{R}^2$?

Dijo que no lo era. ¿Alguien podría explicar por qué no lo es?

¿Puedo simplemente decir que el vector cero,$\vec{0}=(0,0)$ nunca puede ser igual a$(1,t)$ y terminar con eso?

Answer 1

Para demostrar que un conjunto es un subespacio, debe demostrar dos cosas:

1. Usted puede escoger cualquiera de los dos vectores en el conjunto, añadir juntos, y el resultado está en el conjunto.
2. Usted puede escoger cualquier vector en el conjunto, se multiplica por cualquier escalar, y el resultado está en el conjunto.

La forma más fácil de comprobar es que el $\vec{0}$ a de estar en el conjunto. Por qué? Si no está en el conjunto, entonces la multiplicación por cero (un escalar) el resultado es un vector no en el set! (Violación de la condición 2.)

Así que, en resumen, eres perfectamente derecho. ;)

Answer 2

Tienes razón. Cada espacio vectorial debe tener un cero. Sin embargo, el conjunto$S$ no es un subespacio vectorial, aunque es un subespacio de topología.