Intersección arbitraria de conjuntos compactos en espacios que no son de Hausdorff

Question

Sé que la intersección arbitraria de conjuntos compactos en los espacios de Hausdorff es siempre compacta, pero ¿es esto cierto en general? Sospecho que no, pero me cuesta pensar en un contraejemplo.

Answer 1

Aquí hay un contraejemplo. Deje$X=\mathbb{N}\cup\{\infty,\infty'\}$, donde un subconjunto$U\subseteq X$ está abierto si, ya sea$U\subseteq\mathbb{N}$ o$X\setminus U$, es finito. Entonces$A=\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ y$B=\mathbb{N}\cup\{\infty'\}$ son compactos (son compactaciones de un punto de$\mathbb{N}$), pero$A\cap B=\mathbb{N}$ tiene la topología discreta y no es compacta.