¿Diferencial de una forma que come un vector?

Question

Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana con conexión Levi-Civita $\nabla$ y considerar una forma única $\alpha\in\Omega^1(M;\mathbb{R})$ y un campo vectorial $X\in\Gamma(TM)$ .

Desde $\alpha(X)\in C^\infty(M;\mathbb{R})$ podemos considerar que es diferencial $d(\alpha(X))$ . ¿Existe una forma invariante de coordenadas para computar esta cantidad? Tal vez algo como $d(\alpha(X))(Y) = d\alpha(X,Y) + \alpha(\nabla_{Y}X)$ ? ¿Cómo se generaliza esto si consideramos la diferencial de la función suave $\beta(X,Y)$ donde $\beta$ es ahora una 2 forma y $X,Y$ ¿son ambos campos vectoriales?

Answer 1

Desde ${\rm d}(\alpha(X))(Y) = Y(\alpha(X))$ , en efecto, obtenemos de $${\rm d}\alpha(X,Y) = X(\alpha(Y)) - Y(\alpha(X)) - \alpha([X,Y])$$ que $${\rm d}(\alpha(X))(Y) = X(\alpha(Y)) - \alpha([X,Y]) - {\rm d}\alpha(X,Y),$$ pero esto no es muy satisfactorio ya que todavía tenemos $X(\alpha(Y))$ en el lado derecho. Desde $\nabla$ es libre de torsión, podemos mejorar el lado derecho para obtener $${\rm d}(\alpha(X))(Y) = (\nabla_X\alpha)(Y) + \alpha(\nabla_YX) - {\rm d}\alpha(X,Y),$$ donde $(\nabla_X\alpha)(Y) = X(\alpha(Y)) - \alpha(\nabla_XY)$ es la derivada covariante de $\alpha$ en dirección a $X$ . Así que si $\iota_X$ denota el producto interior, podemos escribir $$ {\rm d}(\alpha(X)) = \nabla_X\alpha + \alpha \circ \nabla X - \iota_X({\rm d}\alpha), $$ que es lo más libre de coordenadas que podemos conseguir. Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea realmente útil en la práctica. Se puede hacer lo mismo y obtener fórmulas más complicadas para $k$ -forma con $k>1$ utilizando la misma estrategia, utilizando que si $\omega$ es un $k$ -forma, entonces $\nabla_X\omega$ es un $k$ -formar con $$(\nabla_X\omega)(X_1,\ldots, X_k) = X(\omega(X_1,\ldots,X_k)) - \sum_{i=1}^k \omega(X_1,\ldots, \nabla_XX_i,\ldots, X_k).$$ También tendrá que utilizar $$\begin{align} {\rm d}\omega(X_0,\ldots,X_k) &= \sum_{i=0}^k (-1)^k X_i(\omega(X_0,\ldots, \widehat{X_i},\ldots, X_k)) \\ &\qquad + \sum_{0\leq i<j\leq k} (-1)^{i+j} \omega([X_i,X_j],X_1,\ldots, \widehat{X_i},\ldots, \widehat{X_j},\ldots, X_k). \end{align}$$

Answer 2

Puedes usar la fórmula mágica de Cartan $$ \mathcal{L}_X \omega = i_X d\omega + d(i_X \omega), $$ donde $\omega$ es un $n$ -forma, $\mathcal{L}$ es la derivada de Lie y $i$ representa el producto interior. Obsérvese que todas estas operaciones y la derivada exterior tienen sentido en una variedad diferenciable (no necesariamente una variedad riemanniana), por lo que no se necesita la conexión Levi-Civita para obtener una expresión libre de coordenadas. Sin embargo, creo que hay fórmulas que relacionan la derivada de Lie con la conexión de Levi-Civita, por lo que puedes utilizarlas si quieres expresiones que utilicen la conexión de Levi-Civita.

Para el $1$ -forma $\alpha$ esto da: $$ d(\alpha(X)) = d(i_X \alpha) = \mathcal{L}_X \alpha - i_X d\alpha. $$

Para el $2$ -forma $\beta$ se puede aplicar repetidamente la fórmula de Cartan: $$ \begin{align*} d(\beta(X,Y)) &= d(i_Y i_X \beta) \\ &= \mathcal{L}_Y(i_X \beta) - i_Y d(i_X \beta)\\ &= \mathcal{L}_Y(i_X \beta) - i_Y \mathcal{L}_X \beta + i_Y i_X d\beta. \end{align*} $$