¿Podemos resolver$A+D\sin^{2}x=B\sin x+C\cos x$ sin tener que resolver un polinomio quártico?

Question

Supongamos la siguiente ecuación $$ A+D\sin^{2}x=B\sen x+C\cos x, $$ donde $A,B,C,D\in\mathbb{R}$ son reales constantes. Al principio, traté de encontrar una solución a partir de una simple sustitución de \begin{align*} A-B\sin x+D\sin^{2}x & =\pm C\sqrt{1-\sin^{2}x}, \end{align*} que después de$t=\sin x$, conduce a la siguiente ecuación de cuarto grado $$ (A^{2}-C^{2})-2ABt+B^{2}+2AD+C^{2})t^{2}-2BDt^{3}+D^{2}t^{4}=0. $$ La sustitución de Weierstrass, donde $t=\tan\frac{x}{2}$, y $$ \pecado x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\frac{x}{2}}}=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}, $$ y $$ \cos x=\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=\left(1-\frac{\sin^{2}\frac{x}{2}}{\cos^{2}\frac{x}{2}}\right)\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\frac{x}{2}}}=\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, $$ conduce a $$ A+D\frac{4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=B\frac{2}{1+t^{2}}+C\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, $$ que es también la ecuación de cuarto grado para $t$ $$ (A+C)t^{4}-2Bt^{3}+2(A+2D)t^{2}-2Bt+A-C=0, $$ $$ (A+C)t^{4}-2Bt(t^{2}+1)+2(A+2D)t^{2}+A-C=0. $$ Es mejor la sustitución de evitar la transformación de la identidad trigonométrica para la ecuación de cuarto grado para $t$?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Si establece $X=\cos x$ e $Y=\sin x$, la ecuación se convierte en geométricamente encontrando la intersección de $DY^2-CX-BY-A=0$ (una parábola al $D\ne0$), con el círculo de $X^2+Y^2=1$, que generalmente tiene cuatro soluciones. Así que no: no se puede reducir la resolvent ecuación de grado $4$ menos que exista alguna relación entre los coeficientes.

Si $D=0$ el problema se convierte en intersección de una línea (siempre que uno entre $B$ e $C$ es distinto de cero) con un círculo y, de hecho, se puede reducir a una ecuación cuadrática.

Es mejor si usas $A=A\cos^2x+A\sin^2x$, debido a la cónica se convierte en $$ AX^2+(A-D)Y^2+CX+BY=0 $$ que es una elipse, para $A(A-D)>0$, o una hipérbola, para $A(A-D)<0$.

Otra manera de ver es la configuración de $t=\tan(x/2)$, lo que transforma la ecuación en $$ A+\frac{4Dt^2}{(1+t^2)^2}=\frac{2Bt}{1+t^2}+\frac{C(1-t^2)}{1+t^2} $$ que es lo que hizo. Como se puede ver, este generalmente es una cuártica: $$ (A+C)t^4-2Bt^3+(2A+4D)t^2-2Bt-C=0 $$

Uno llega a una simetría al $B=0$, porque en este caso la parábola es simétrica con respecto al $X$-eje: como se puede ver, la cuártica se convierte en biquadratic.