¿Por qué la siguiente prueba de la propiedad de intervalo anidado requiere el axioma de integridad?

Question

La prueba en mi texto es como sigue:

Deje $a_1,a_2,a_3,\ldots$ e $b_1, b_2, b_3,\ldots$ ser las etiquetas de izquierda y derecha extremos respectivamente.

Consideremos el conjunto a de la mano izquierda en los extremos de los intervalos, y dejar que x = sup A. Puesto que x es una cota superior de a, tenemos $a_n \leq x$. Desde cada una de las $b_n$ es una cota superior de a, tenemos $x\leq b_n$. Entonces a partir de la $a_n\leq x \leq b_n$, podemos concluir que $x\in I_n$ por cada elección de $n\in \mathbb{N}$. Por lo tanto, x está en el infinito intersección de intervalos anidados.

Mi pregunta es.. ¿podría la prueba de trabajo con $x = a_n$ lugar? Parece que todas las propiedades de la clave sería todavía retener - $a_n \leq a_n \leq b_n$ para todo n. Esto no parece requerir de la ac para ser verdad.

Answer 1

Toma un número irracional, por ejemplo,$\sqrt{2}$. Considere su expansión decimal$$ 1.4142\ldots $ $ Ahora construya una secuencia de intervalos anidados:$$ [1,2] \supset [1.4,1.5] \supset [1.41,1.42] \supset [1.414,1.415] \supset [1.4142,1.4143] \supset \cdots $ $ Estos son intervalos anidados con puntos finales racionales, pero su intersección no contiene un número racional. Entonces, sin estar completos, la propiedad del intervalo anidado es falsa.