¿Por qué un anillo está cerca de su límite cuando las curvas de límite están cerca?

Question

Esta es la principal motivación de la pregunta por la vaga pregunta aquí: cuando es la región delimitada por un Jordania curva "flaco"?

Supongamos que tenemos dos Jordania curvas en el plano, una dentro de la otra y cada una contenida en un épsilon barrio de la otra. ¿Cómo podemos concluir que el anular de la región entre las dos curvas es la misma que figura en los dos epsilon barrios de la curva original?

Nota: por epsilon barrio de una curva me refiero al conjunto de todos los puntos que se encuentran dentro de una distancia epsilon desde algún punto en la imagen de la curva.

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Seguimiento: Desde la afirmación anterior es falsa (ver Hagen respuesta), nos podemos preguntar si es cierto si suponemos que el punto de sabio cercanía de elegido el proceso de parametrización de las curvas. Este es respondida afirmativamente por user7...

Answer 1

Nosotros no podemos Considere un disco cerrado arbitrariamente grande. En dos puntos de su circunferencia, dos bandas finas emergen del primer viento del viento de ida y vuelta muy cerca del límite del disco y luego se encuentran. El contorno de esta figura consiste en dos curvas Jordan que forman un contraejemplo.

Answer 2

Creo que esto puede ser muy similar a la contraejemplo que Hagen von Eitzen descrito en palabras, pero no estoy del todo seguro. Así que aquí está un fooplot.

Si usted asume que $|f(\theta)-g(\theta)|< 2\epsilon$ para todos los $\theta$ (donde $f$ e $g$ son las dos curvas), entonces la conclusión es verdadera. En efecto, supongamos que el disco de $|z-a|< \epsilon$ está contenida en el espacio anular. Podemos y asumen $a=0$. Entonces el devanado números de $f$ e $g$ todo $0$ son diferentes: una es $0$, el otro es $1$. Por otro lado, afirmo que la $$f_t(\theta)=(1-t)f(\theta)+tg(\theta)$$ es un homotopy entre el $f$ e $g$ en $\mathbb R^2\setminus \{0\}$.

De hecho, si $f_t(\theta)=0$ para algunos $\theta$, entonces los puntos de $f(\theta),0, g(\theta)$ se encuentran en una recta, en el orden en que aparecen. Por lo tanto $|f(\theta)-g(\theta)|=|f(\theta)|+|g(\theta)|\ge 2\epsilon$, lo cual es una contradicción.