Encuentra el último dígito de$3^{1999}$

Question

No sé de dónde me equivoqué. Mi respuesta es 3, pero la hoja de respuestas dice 7. Esto es lo que hice:$3^{1999}=(3^9)^{222}*3$. Use el pequeño teorema de Fermat,$3^9=1$ (mod 10), que resulta en$3^{1999}=(3^9)^{222}*3=1^{222}*3=3$ (mod 10). Por lo tanto, el último dígito debe ser 3.

Problema: Encuentra el último dígito de$3^{1999}$.

Answer 1

¡Frío! Si multiplicamos unas cuantas veces, vemos que el último dígito será 3, luego 9, luego 7, luego 1. No necesitamos preocuparnos por los siguientes dígitos porque no lo pregunta. Sabemos que$3^{1999} = (3^4)^{499} * 3^3$ y como$3^4$ tiene un último dígito de 1, podemos negar todo el término. $3^3 = 27$, que tiene un último dígito de 7.

Además, esto puede ser modelado por la secuencia 3,9,7,1,3,9 .... y solo necesitas encontrar el término 1999th.

Answer 2

Aquí hay una alternativa sencilla que no requiere la de Euler ni la de Fermat, y solo requiere darse cuenta de que

$$3^2 \equiv -1 \pmod {10}$ $ para que$$\begin{align}3^{1999} &= (3^2)^{999}\cdot3\\&\equiv (-1)^{999}\cdot3\pmod{10}\\&\equiv-3\pmod{10}\\&\equiv{7}\pmod{10}\end{align}$ $

Answer 3

Por el teorema de Euler

3 ^ 4≡1 (mod 10)

o, 3 ^ 1996≡1 (mod 10) [Elevando a la potencia 499]

o, 3 ^ 1999≡27 (mod 10) ≡7 (mod 10)

De ahí el resultado.