Cómo encontrar esta secuencia de relaciones recursivas.

Question

Pregunta:

Deje$$A_{n}=\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{n+i-2}\dfrac{13n^2-31n-10ni+9i+i^2+16}{(3n-i-3)(3n-i-4)(2n-i-3)!\cdot i!}$ $

Quiero encontrar las relaciones recursivas de$A_{n}$, como seguir el formulario$$A_{n}=B_{n}+C_{n}A_{n-1}+D_{n}A_{n-2}+\cdots$ $ He intentado algunas veces y no puedo encontrarlo, ¿me pueden ayudar? Gracias

PD: este es mi jefe, dame una pregunta. Supongo que él tampoco puede. Porque siempre me da alguna pregunta (no puede resolverlo)

Answer 1

Nota: En la siguiente me proporcionan una simplificación de la expresión para $A_{n}$. Para una recurrencia de la relación debe ser más fácil que se pueden derivar de ello. Hasta ahora no pude encontrar ninguna. Pero, tal vez el lector tiene una idea inteligente o el utillaje correcto para obtenerlo a partir de estos simples expresiones.

Mostramos:

El siguiente es válido para $n \geq 4$:

\begin{align*} A_n&=\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{n+i}\frac{13n^2-31n-10ni+9i+i^2+16} {(3n-i-3)(3n-i-4)(2n-i-3)!i!}\\ &=\frac{2}{(2n-3)!}\left((-1)^n\frac{(n-2)^2}{3(n-1)}-\binom{2n-4}{n-1}\right.\tag{1}\\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^i\binom{2n-2}{n+i}\frac{i^2}{2n+i-1}\tag{2}\\ &\qquad\qquad\left.+\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^i\binom{2n-3}{n+i}\frac{i}{2n+i-1}\right)\tag{3}\\ \end{align*}

Así, una relación de recurrencia para $A_n$ podría ser registrados por separado el análisis de (1), (2) y (3). Los términos de (1) aparentemente contribuir funciones racionales en $n$ y no debería ser demasiado difícil de encontrar.

El reto es encontrar las relaciones de recurrencia para \begin{align*} B_n=\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^i\binom{2n-2}{n+i}\frac{i^2}{2n+i-1}\qquad n\geq 4 \end{align*} y \begin{align*} C_n=\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^i\binom{2n-3}{n+i}\frac{i}{2n+i-1}\qquad n\geq 4 \end{align*}

Sin embargo parece que encontrar una relación de recurrencia para $B_n$ e $C_n$ debe ser más factible de encontrar uno para $A_n$.

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Vamos a la prueba de la afirmación anterior:

El primer paso es cambiar el índice de $i \rightarrow n-3-i $ (4) e introducir los coeficientes binomiales para hacer la representación más conveniente (5).

\begin{align*} A_n&=\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{n+i}\frac{13n^2-31n-10ni+9i+i^2+16} {(3n-i-3)(3n-i-4)(2n-i-3)!i!}\\ &=\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{i+1}\frac{4n^2+2n+8ni+i^2-3i-2} {(2n+i)(2n-1+i)(n+i)!(n-i-3)!}\tag{4}\\ &=\frac{1}{(2n-3)!}\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{i+1}\binom{2n-3}{n+i}\frac{4n^2+2n+8ni+i^2-3i-2} {(2n+i)(2n-1+i)}\tag{5}\\ \end{align*}

A continuación, aplicamos parcial fracción de descomposición: \begin{align*} \frac{1}{(2n+i)(2n+i-1)}&=\frac{1}{2n+i-1}-\frac{1}{2n+i}\\ \frac{4n^2+2n+8ni+i^2-3i-2}{2n+i-1}&=2n+3i+2-2\frac{i(i+1)}{2n+i-1}\\ \frac{4n^2+2n+8ni+i^2-3i-2}{2n+i}&=2n+3i+1-2\frac{(i+1)^2}{2n+i-1}\\ \end{align*} Y así obtenemos \begin{align*} \frac{4n^2+2n+8ni+i^2-3i-2}{(2n+i)(2n+i-1)}=1-2\frac{i(i+1)}{2n+i-1}+2\frac{(i+1)^2}{2n+i} \end{align*}

Ahora podemos escribir $A_n$ como \begin{align*} A_n&=\frac{1}{(2n-3)!}\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{i+1}\binom{2n-3}{n+i}\tag{5}\\ &\qquad\qquad-\frac{2}{(2n-3)!}\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^{i+1}\binom{2n-3}{n+i}\frac{i(i+1)}{2n+i-1}\tag{6}\\ &\qquad\qquad+\frac{2}{(2n-3)!}\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{i+1}\binom{2n-3}{n+i}\frac{(i+1)^2}{2n+i}\tag{7}\\ \end{align*}

Tenga en cuenta, que la suma en (6) no hace nada contribuyen a $A_n$ si $i=0$, por lo que comenzará el índice de con $i=1$. Podemos simplificar (5) considerando como telescópica suma: \begin{align*} \sum_{i=0}^{n-3}&(-1)^{i+1}\binom{2n-3}{n+i}\\ &=\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{i+1}\binom{2n-4}{n+i-1}+\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{i+1}\binom{2n-4}{n+i}\\ &=\sum_{i=0}^{n-3}(-1)^{i+1}\binom{2n-4}{n+i-1}-\sum_{i=1}^{n-2}(-1)^{i+1}\binom{2n-4}{n+i-1}\\ &=-\binom{2n-4}{n-1} \end{align*}

Por lo tanto, $A_n$ puede ser escrita como: \begin{align*} A_n&=\frac{-1}{(2n-3)!}\binom{2n-4}{n-1}\\ &\qquad\qquad+\frac{2}{(2n-3)}\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^{i}\binom{2n-3}{n+i}\frac{i(i+1)}{2n+i-1}\tag{8}\\ &\qquad\qquad+\frac{2}{(2n-3)}\sum_{i=1}^{n-2}(-1)^{i}\binom{2n-3}{n+i-1}\frac{i^2}{2n+i-1}\tag{9} \end{align*} Observar el índice de cambio de $i\rightarrow i+1$ (9) para obtener el mismo denominador, como en (8).

Ahora hemos separado el último sumando con $i=n-2$ (9). Al hacerlo, el rango del índice en (8) y (9) es $1\leq i \leq n-3$ y podemos recoger los sumandos con $i^2$.

\begin{align*} A_n&=\frac{-1}{(2n-3)!}\binom{2n-4}{n-1}\\ &\qquad+\frac{2}{(2n-3)!}\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^{i} \left(\binom{2n-3}{n+i}+\binom{2n-3}{n+i-1}\right)\frac{i^2}{2n+i-1}\tag{10}\\ &\qquad+\frac{2}{(2n-3)!}\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^{i} \binom{2n-3}{n+i}\frac{i}{2n+i-1}\\ &\qquad+\frac{2}{(2n-3)!}(-1)^{n-2}\binom{2n-3}{2n-3}\frac{(n-2)^2}{3n-3} \end{align*}

Observar que en (10) \begin{align*} \binom{2n-3}{n+i}+\binom{2n-3}{n+i-1}=\binom{2n-2}{n+i} \end{align*} y recogiendo el primer y el último sumando los resultados en

\begin{align*} A_n&=\frac{2}{(2n-3)!}\left((-1)^n\frac{(n-2)^2}{3(n-1)}-\binom{2n-4}{n-1}\right.\\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^i\binom{2n-2}{n+i}\frac{i^2}{2n+i-1}\\ &\qquad\qquad\left.+\sum_{i=1}^{n-3}(-1)^i\binom{2n-3}{n+i}\frac{i}{2n+i-1}\right)\\ \end{align*} y el reclamo de la siguiente manera.