Una escritura sobre zigzag (si no es tonta) de definición de analticidad en el Libro de análisis de Amann.

Question

En un famoso libro de texto, Amann del Análisis del yo, el autor introduce la analiticidad como se muestra en la siguiente imagen. Observe que el autor define esta terminología con respecto a un conjunto de $D$, en lugar de un punto de $c$. En realidad, no hay una definición para ser capaz de decir algo así como "una función de $f$ es analítica en un punto de $c$" en este libro.

Y luego, en los Comentarios (c), el autor dijo que "analiticidad" es una propiedad local; es decir, para $f:E\to\Bbb R$, si ($\forall x\in E,~f$ es analítica en un barrio de $x$), a continuación, $f$ es analítica en todo el dominio $E$. Vamos a parar aquí, y ver cómo la misma cosa que se discute en la obra de Terrence Tao del Análisis I:

La diferencia es que el Tao primero se define lo que se llama analítica en un punto de $c$, entonces simplemente se extienden a lo que se llama analítica en un conjunto $E$, que es más sencillo e intuitivo. En realidad, Amann no realmente deshacerse de la definición de "un punto" de la versión. Ver más de cerca Amann definición, su definición es esencialmente equivalente a decir $f$ se llama analítica en $D$ si para cada $x_o\in D$, $f$ es "algo de la analítica en $x_0$", los restantes todas las palabras es su definición original que he omitido es sólo la definición de "$f$ es algo de la analítica en $x_0$". Así que creo que la manera en que él escribe es bastante zig-zag y antinatural, si no tontos. ¿Por qué no dar la versión de un punto de la analítica de primera? Por otro lado, si él había declarado el "un punto" primero la definición, a continuación, "versión", luego de su Comentario (c) podría, al menos bastante fácil, si no es demasiado trivial. Estoy en lo cierto? O es que hay otra razón por la que eligió así?

Answer 1

En realidad me parece Amann la versión más natural, ya que a diferencia de la continuidad, la diferenciabilidad, e incluso la suavidad, el conjunto de puntos donde $f$ es analítica en siempre es un conjunto abierto.

(también hay una especie de trampa en la que si se tiene una función que es $D^{k+1}$ a un punto, a continuación, esto implica que debe ser $C^{k}$ en algunas de conjunto abierto en torno a ese punto, pero cuando se trata de suavidad hay funciones que son suaves en un punto, pero no suave en cualquier abierto a su alrededor, que es un poco intuitivo si se compara con el escenario anterior)

Un punto que no está muy claro en la definición es que si usted tiene una potencia de serie $\sum a_nx^n$ positiva con el radio de convergencia $R > 0$, entonces si $|y|<R$, a continuación, escribir $\sum a_nx^n = \sum a_n((x-y)+y)^n$, entonces usted puede utilizar el teorema del Binomio y reordenar los términos para obtener un nuevo poder de la serie de $\sum b_n (x-y)^n$ que converge para $|x-y| < R-|y|$. Y así, si una función es analítica en algún lugar, verdaderamente es analítica en un conjunto abierto a su alrededor.

Con Amann la definición que de este hecho se inserta en el lado de uno que tiene que mostrar analiticidad (es decir, es difícil ver, pero uno tiene que probar la existencia de la alimentación de la serie en todo un conjunto abierto) por lo que es más difícil demostrar que una función es analítica, sin embargo, si usted está en el lado de alguien a través de analiticidad, la existencia de poder de la serie se da gratis.

Tao de la definición es a la inversa, se hace demostrando analiticidad más fácil, pero en cambio es "menos útiles", como en no es obvio que el poder de la serie existen en todas partes.

Amann la definición de a poco se internaliza este teorema sobre el poder de la serie, y asumiendo que usted tiene un montón de teoremas para demostrar analiticidad (para ejemplos de que los polinomios son analíticos, que las composiciones de funciones analíticas son analíticos, que $\exp$ es analítica, etc) que son importantes, no importa la versión de la definición a su disposición, ni siquiera se puede observar que es más difícil de probar, pero aún así llegar a disfrutar de más utilidad sin tener que mencionar un extra teorema de cada vez.