Muestre la isometría del flujo en una variedad Riemanniana compacta donde el campo vectorial es Matar

Question

Deje $(M,g)$ ser una de Riemann colector, $\nabla$ la de Levi-Civita de conexión de $g$. Un vector presentada $V$ a $M$ se llama a un campo de muerte si para cada $p\in M$ y cada una de las $X,Y\in T_p M$, $$ g(\nabla_X V, Y)+g(X,\nabla_Y V)=0 $$ Mostrar que si $(M,g)$ es un compacto de Riemann colector, y $V$ es un campo de muerte, entonces el flujo de $\Psi_t$ de % de $V$ es una isometría para cada una de las $t$.

Ahora para que podamos empezar, Primero vamos a mostrar que la tasa de cambio de la métrica $g_{\Psi_t(x)}(D_x\Psi_t X, D_x\Psi_t Y)$ con $t$ es cero en $t=0$ cualquier $X$ e $Y$ en $T_p M$. A continuación, utilice el grupo local de propiedad de la corriente.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Primer pretendemos que $$ \nabla_{Xg} (X_i,X_j)=X(g(X_i,X_j))-([X,X_i],X_j)-([X,X_j],X_i)=X(g(X_i,X_j)),\daga $$ Paso 1 Definir una conexión para la diferenciación de convector campos (1-formas). El derivado $\nabla_Y\omega$ debe satisfacer $$ Y(\omega(X))=(\nabla_Y\omega)(X)+\omega\nabla_Y X). $$ Por lo tanto, $$ (\nabla_Y\omega)(X) := Y(\omega(X))-\omega\nabla_Y X).\qquad (1) $$ Aplicar (1), tenemos \begin{align*} (\nabla_X g)(X_i, X_j)&=[Y,g](X_i,X_j)\\ &=Y(g(X_i,X_j))-g(\nabla_Y(X_i,X_j))\\ &=Y(g(X_i,X_j))-g(\nabla_Y X_i,X_j)-g(X_i,\nabla_Y X_j) \end{align*}

Answer 1

Para mostrar $\Psi_t$ de % de $V$ es una isometría para cada una de las $t$, es decir, \begin{equation*} g_{\Psi_t(x)}(D_x\Psi_t X, D_x\Psi_t Y)=g_x(X,Y)\quad\forall\,\,X,Y\in T_p M \end{ecuación*} En su lugar, vamos a mostrar \begin{equation*} \frac{\partial}{\partial t}( X_i, X_j) =0, \end{ecuación*} que es el mismo como se muestra \begin{equation*} \frac{\partial}{\partial t}(D_x\Psi_t X, D_x\Psi_t Y)=\text{const}\quad\dagger \end{ecuación*} Prueba: $V$ es un campo de muerte, entonces tenemos para cada $p\in M$ e $X,Y\in T_p M$. \begin{equation*} g(\nabla_X V,Y)+g(X,\nabla_Y V)=0 \end{ecuación*} Escribir $Y=V_i=\frac{\partial}{\partial x_i}$,\quad $X= V_j=\frac{\partial}{\partial x_j}$. Puesto que la derivada parcial de conmutar en $\mathbb{R}^n$, es decir, \begin{equation*} [V_i,V_j]=0\quad\forall\,\,i,j\,\,\text{and}\,\,[V, V_i]=[V_n,V_i]=0 \end{ecuación*} Esto es suficiente para mostrar que $V$ es un campo de muerte si y sólo $L_V g(V_i,V_j)=0$ para todos los $i,j$. La primera nota que los flujos para cualquier momento dado, $t$ siempre dan locales diffeomorphisms, ya que su inversa es proporcionada por el local de flujo del campo vectorial $-V$. Así, por $V$ a ser un campo de muerte cerca de $x$ es equivalente a tener la propiedad $(u,v)=((D_x\Psi_t u, D_x\Psi_t v))$ para todos los $u,v\in T_p M$, y todos los $p$ cerca de $x$. Pretendemos, además, que fija $x_1,\cdots,x_{n-1}$, como $t$ varía los coeficientes de $D_x\Psi_t u$ e $D_x\Psi_t v$ en el término de la $V_i$ son constantes. Entonces \begin{align*} &\ g(\nabla_{V_j}V,V_i)+g(\nabla_{V_i}V,V_j)\\ = &\ g([V_j,V]-\nabla_V V_j, V_i)+g([V_i,V]-\nabla_V V_i,V_j)\\ = &\ ([V_j,V],V_i)-(\nabla_V V_j,V_i)+([V_i,V],V_j)-(\nabla_V V_i,V_j)\\ = &\ -g([V,V_j],V_i)-g([V,V_i],V_j)-{\color{blue}g((\nabla_V,V_j,V_i)+(\nabla_V V_i,V_j))}\\ = &\ -([V,V_j],V_i)-([V,V_i],V_j)-{\color{blue}g(\nabla_V V_j\cdot V_i+ V_j\nabla_V V_i)}\\ = &\ -([V,V_j],V_i)-([V,V_i],V_j)-V(V_j,V_i)\\ = &\ -\frac{\partial}{\partial t}g(V_j,V_i)\\ = &\ -\frac{\partial}{\partial t}g(D_x\Psi_t V_j, D_x\Psi_t V_i) \end{align*} Las dos últimas líneas indique el $\Psi_t$ de % de $V$ es una isometría de $(M,g)$ por cada $t$.

Yo siempre siento menos suspiro parece sospechoso...

Cualquier corrección es de agradecer.