Ejemplo de dos espacios indisociables por sus módulos de homología (con$\mathbb{Z}$ de coeficientes) pero con diferentes anillos de cohomología

Question

Estoy corriendo un estudiante de seminario sobre cohomology (para estudiantes de máster) y quisiera motivar a la dualisation de homología al hablar sobre la copa de los productos. Así que estoy buscando un ejemplo de dos espacios de $X$ e $Y$ con la misma homología de los módulos, pero diferentes cohomology de los anillos. Hay niza-ish ejemplos de lo que sería razonable para hablar en un seminario?

Yo ya tengo el ejemplo de $X=\mathbb{R}P^n$ e $Y=\vee_{i\leq n}S^i$ con $\mathbb{Z}/2$ de los coeficientes. El problema con esto es que estos espacios se distinguen por su homología con $\mathbb{Z}$ de los coeficientes. Esto podría ser suficiente motivación para este tipo de seminario, pero me gustaría todavía prefieren tener un ejemplo de los dos espacios donde realmente se necesita el extra de la estructura del anillo de distinguirlos.

Gracias por la ayuda

Answer 1

Un ejemplo sencillo es el torus $S^1 \times S^1$, que tiene la misma homología entre los diferentes cohomology anillo de la cuña $S^1 \vee S^1 \vee S^2$ (el cual no trivial de la copa de productos).

Una pregunta más interesante es si hay ejemplos que son cerradas colectores. No podría ser de 3-colector de ejemplos, pero no sé cómo se construye fuera de la parte superior de mi cabeza.

4-variedades podemos construir ejemplos de encontrar simplemente conectado cerrado 4-variedades con el mismo medio Betti número $b_2$ pero tales que el valor absoluto de la firma es diferente, lo que implica que el cohomology los anillos no son isomorfos. Creo que podemos aprovechar $\mathbb{CP}^2 \# \mathbb{CP}^2$ e $\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$; ambas satisfacer $b_2 = 2$, pero la primera tiene la firma de $2$ y en el segundo, la firma de $0$ (aunque usted no necesita saber lo que firma es calcular que el cohomology anillos no son isomorfos). Ver esta entrada del blog para más de fondo.

Answer 2

Un ejemplo similar al suyo es$\mathbb CP^n$ y$\bigvee\{S^i:0<i\leq 2n$ con$i$ par$\}$, como el anillo de cohomología de$\mathbb CP^n$, con coeficientes en$\Bbb Z$, es

PS

Answer 3

Este ejemplo simple puede estar fuera del alcance de su seminario, pero añade una capa de complejidad a los otros ejemplos ya dados.

Considere la posibilidad de $\Sigma \mathbb{C}P^n$ e $\bigvee_{i=1,\dots n} S^{2i+1}$. Estos espacios tienen la misma cohomology grupos para todos los coeficientes, y de hecho, el mismo cohomology de los anillos, ya que todos los de la copa de productos en la suspensión de $\Sigma \mathbb{C}P^n$ son triviales.

¿Cómo puede cohomolgoy distinguir entre el homotopy tipos de estos espacios? Su mod $p$ cohomology los anillos no son isomorfos como módulos a través de la álgebra de Steenrod, ya $\Sigma \mathbb{C}P^n$ admitirá la no-trivial de operaciones para el adecuado $p$ mientras $\bigvee_{i=1,\dots n} S^{2i+1}$ no. En particular, si $x\in H^2(\mathbb{C}P^2\mathbb{Z}_2)$ es un generador lo es $Sq^2x=x^2\in H^4(\mathbb{C}P^2;\mathbb{Z}_2)$. Por lo tanto si $\sigma$ denota la llevaron a la suspensión isomorfismo, que conmuta con el Steenrod operaciones, a continuación, $Sq^2(\sigma x)=\sigma(Sq^2x)=\sigma (x^2)\in H^5(\Sigma\mathbb{C}P^2;\mathbb{Z}_2)$ no es trivial.