Subgrupo transitivo en el subconjunto con la misma cardinalidad

Question

Tal vez haya alguna idea muy obvia que se me escapa, pero también he hecho esta pregunta a otras personas y no ha salido nada significativo:

Si se tiene un subgrupo G de $S_n$ (el grupo simétrico sobre n elementos), se puede considerar la acción natural de G sobre el subconjunto de $\{1,...,n\}$ mi pregunta es la siguiente: ¿cuáles son las G que actúan transitivamente sobre los subconjuntos de la misma cardinalidad; es decir, siempre que $A,B \subseteq \{1,...,n\}$ con $|A|=|B|$ , hay $g \in G$ para que $gA=B$ .

Answer 1

Por el Teorema de Livingstone Wagner, (Livingstone, D., Wagner, A., Transitividad de grupos de permutación finitos sobre conjuntos desordenados. Math. Z. 90 (1965) 393-403), si $n \ge 2k$ y $G$ es transitivo en $k$ -subconjuntos con $k \ge 5$ entonces $G$ es $k$ -transitivo. Usando la clasificación de grupos simples finitos, $A_n$ y $S_n$ son los únicos finitos $k$ -grupos transitivos para $k \ge 6$ y los únicos grupos de 4 y 5 transitivos son los grupos de Mathieu, por lo que (al menos para $n \ge 10$ ), los únicos grupos de permutación que son $k$ -homogéneo para todos $k$ son $A_n$ y $S_n$ .

Véase también la discusión similar en Acciones de grupo transitivas en determinados subconjuntos

Answer 2

La respuesta de Derek Holt funciona bien para $n\geq 10$ pero hay algunas excepciones para valores pequeños de $n$ . Utilizando $\mathsf{GAP}$ de la biblioteca de grupos de permutación transitiva, encontré la lista completa de excepciones:

• El subgrupo $\big\langle(1\;2\;3\;4\;5),(1\;2\;4\;3)\big\rangle$ de $S_5$ actúa transitoriamente sobre $k$ -subconjuntos de elementos de $\{1,2,3,4,5\}$ para cada valor de $k$ . Este es el grupo de Frobenius de orden 20 (es decir $\mathbb{Z}_5 \rtimes \mathbb{Z}_4$ ).

• El subgrupo $\big\langle(1\;2\;3\;4\;6),(1\;2)(3\;4)(5\;6)\big\rangle$ de $S_6$ actúa transitoriamente sobre $k$ -subconjuntos de elementos de $\{1,\ldots,6\}$ para cada valor de $k$ . Este subgrupo es isomorfo a $S_5$ y se puede obtener como la acción de $S_5$ en los seis subconjuntos de dos elementos de $\{1,\ldots,5\}$ . Este grupo también puede describirse como $\mathit{PGL}(2,5)$ actuando en los seis subespacios unidimensionales de $\mathbb{F}_5^2$ .

• El subgrupo $\big\langle(1\;9)(2\;3)(4\;5)(6\;7),(1\;2\;4\;3\;6\;7\;5),(2\;5)(3\;6)(4\;7)(8\;9)\big\rangle$ de $S_9$ actúa transitoriamente sobre $k$ -subconjuntos de elementos de $\{1,\ldots,9\}$ para cada valor de $k$ . Se trata del grupo lineal especial proyectivo $\mathit{PSL}(2,8)$ (de orden 504) actuando sobre los nueve subespacios unidimensionales de $\mathbb{F}_8^2$ .

• El subgrupo de $S_9$ generado por $\mathit{PSL}(2,8)$ anterior, así como la permutación $(2\;4\;6)(3\;5\;7)$ también actúa de forma transitoria sobre $k$ -subconjuntos de elementos de $\{1,\ldots,9\}$ para cada valor de $k$ . Este grupo tiene un orden de 1512, y puede describirse como un producto semidirecto $\mathit{PSL}(2,8)\rtimes \mathbb{Z}_3$ . Es de suponer que el $\mathbb{Z}_3$ proviene de la acción del Automorfismo de Frobenius de $\mathbb{F}_8$ en $\mathbb{F}_8^2$ .

Por cierto, aquí está el $\mathsf{GAP}$ que imprime la lista de excepciones:

for n in [3..10] do
   for k in [1..NrTransitiveGroups(n)-2] do
      if ForAll([1..n],
          i -> Size( Orbits(TransitiveGroup(n,k),
                  Combinations([1..n],i), OnSets) ) = 1)
      then
         Print( "TransitiveGroup(", n, ",", k, ")\n" );
      fi;
   od;
od;

Editar: Esta edición es en respuesta a la pregunta de Igor Rivin. Según este sitio web los siguientes polinomios sobre $\mathbb{Q}$ tienen como grupos de Galois los grupos de permutación anteriores:

• El primer grupo mencionado (normalmente denotado como 5T3 o F(5)) es el grupo de Galois de $$x^5-9x^3-4x^2+17x+12. $$

• El segundo grupo mencionado (que suele denominarse 6T14, PGL(2,5), L(6):2 o $S_5(6)$ ) es el grupo de Galois de $$x^6 + 3x^4 - 2x^3 + 6x^2 + 1.$$

• El tercer grupo de la lista anterior (normalmente denotado como 9T27, L(9) o PSL(2,8)) es el grupo de Galois de $$x^9+x^7-4x^6-12x^4-x^3-7x^2-x-1.$$

• El cuarto grupo de la lista anterior (normalmente denotado 9T32, L(9):3, o P|L(2,8)) es el grupo de Galois de $$x^9-x^8-4x^7+28x^3+26x^2+9x+1.$$