¿Qué tiene de interesante el apoyo de un módulo?

Question

En el Álgebra Conmutativa, definimos el Soporte de un módulo $M$ $$ \operatorname{Supp}(M) = \{P \in \operatorname{Spec}(R) : M_P \neq \{0 \} \} = \{P \in \operatorname{Spec}(R): \exists m \in M: \operatorname{Ann}(m) \subseteq P \} $$ Hoy he preguntado a nuestro tutor "¿Puede decirnos por qué $\operatorname{Supp}(M)$ es interesante?" y me dijo que no, que nunca lo había visto en acción.

Así que quiero plantear esta pregunta aquí. ¿Por qué debería $\operatorname{Supp}(M)$ ¿es interesante?

Answer 1

Consideremos una gavilla $\mathcal{F}$ de $\mathcal{O}_X$ -módulos. Entonces el soporte de $\mathcal{F}$ son todos los puntos de $X$ "donde el tallo es distinto de cero", es decir $$\mathrm{supp}(\mathcal{F}) = \{ x \in X \mid \mathcal{F}_x \neq 0 \}. $$ Efectivamente, esto coincide con la definición que has dado en tu pregunta. Nótese que se puede generalizar esta noción a los complejos de gavillas, es decir $$ \mathrm{supp}(\mathcal{F}^\bullet) = \bigcup \mathrm{supp}(H^i(\mathcal{F}^\bullet)). $$ Entonces esta noción es importante para afirmar/probar muchos resultados de la geometría algebraica. Por ejemplo, si sabemos algo como $x \notin \mathrm{supp}(\mathcal{F}^\bullet) $ entonces podemos deducir que $\mathcal{F}^\bullet |_U$ es trivial, donde $x \in U \subset X$ es una vecindad abierta de $x$ .