Pregunta de probabilidad de la Olimpiada de Matemáticas Británica, 1973

Question

Recientemente tengo un problema desde Británico Olimpíadas de Matemáticas, 1973 Es una pregunta de probabilidad.

En la contestación de preguntas de cultura general (enmarcado de manera que cada pregunta se responde sí o no), el maestro de la probabilidad de ser correcto es $\alpha$ y un alumno de la probabilidad de ser correcto es $\beta$ o $\gamma$ de acuerdo a como el alumno es un niño o una niña. La probabilidad de que un alumno elegido al azar de acuerdo con el profesor la respuesta es $\dfrac{1}{2}$. Encontrar el cociente de un número de niños y niñas en la clase.

Yo lo hice como $$b=\text{Number of boys}$$ $$g=\text{Number of girls}$$ así $$\frac{1}{2}=\Big(\alpha \beta+(1-\alpha)(1-\beta)\Big)\Bigg(\dfrac{b}{b+g}\Bigg)+\Big(\alpha \gamma+(1-\alpha)(1-\gamma)\Big)\Bigg(\dfrac{g}{b+g}\Bigg)$$ $$\frac{b+g}{2}=\Big(\alpha \beta+(1-\alpha)(1-\beta)\Big)b+\Big(\alpha \gamma+(1-\alpha)(1-\gamma)\Big)g$$ se divide por g $$\frac{b+g}{2g}=\Big(\alpha \beta+(1-\alpha)(1-\beta)\Big)\Bigg(\dfrac{b}{g}\Bigg)+\Big(\alpha \gamma+(1-\alpha)(1-\gamma)\Big)\Bigg(\dfrac{g}{g}\Bigg)$$ $$\frac{b}{2g}+\frac{1}{2}=\Big(\alpha \beta+(1-\alpha)(1-\beta)\Big)\Bigg(\dfrac{b}{g}\Bigg)+\Big(\alpha \gamma+(1-\alpha)(1-\gamma)\Big)$$ $$\frac{b}{2g}-\Big(\alpha \beta+(1-\alpha)(1-\beta)\Big)\Bigg(\dfrac{b}{g}\Bigg)=\Big(\alpha \gamma+(1-\alpha)(1-\gamma)\Big)-\dfrac{1}{2}$$ $$\frac{b}{g}=\dfrac{\Big(\alpha \gamma+(1-\alpha)(1-\gamma)\Big)-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}-\Big(\alpha \beta+(1-\alpha)(1-\beta)\Big)}$$

¿Es lo correcto? Necesidad Suggations.

Answer 1

Insinuación:

La probabilidad de que un niño seleccionado al azar obtenga la misma respuesta que el maestro puede dividirse por probabilidad total como

$\Pr(B)\bigl(\alpha \beta + (1-\alpha)(1-\beta)\bigr) + \bigl(1-\Pr(B)\bigr)\bigl(\alpha\gamma + (1-\alpha)(1-\gamma)\bigr)$

Donde $B$ es el evento de que nuestro niño seleccionado al azar es un niño. Asegúrate de entender por qué.