Automorfismos externos de las algas C *

Question

Estoy tratando de encontrar ejemplos de Automorphisms en C * -algebras que no son triviales en la teoría K, es decir, automorphisms $\alpha$ tal que $K_0(\alpha)$ no es el mapa de identidad. Estos Automorfismos, por supuesto, no pueden ser aproximadamente internos.

Estaba tratando de construir un ejemplo de eso en un álgebra UHF pero un ejemplo en cualquier álgebra C * sería útil para mi comprensión.

Answer 1

Esto es acerca de como degenerados un ejemplo de como uno puede conseguir:

Deje $A$ ser su favorito $C^*$-álgebra con $K_0(A)$ no trivial, vamos a $B=A\oplus A$, y deje $\alpha:B\to B$ ser dado por $\alpha(x_1,x_2)=(x_2,x_1)$. A continuación, $K_0(B)\cong K_0(A)\oplus K_0(A)$, e $K_0(\alpha)(g_1,g_2)=(g_2,g_1)$.

Estoy seguro de que más ejemplo interesante puede ser tomado por mirar el antipodal mapa de $\alpha:S^2\to S^2$, y teniendo en cuenta $\alpha^*:C(S^2)\to C(S^2)$, (tenga en cuenta que $K_0(C(S^2))=K^0(S^2)=\mathbb Z\oplus\mathbb Z$), pero no he ido a través de los detalles. Tal vez voy a ampliar sobre esto más adelante.

Answer 2

Tome $A=\mathbb C^2$ y $\phi(a,b)=(b,a)$ . Si no estoy equivocado (mi teoría $K$ es ridículamente débil), puedes ver que $K_0(A)=\mathbb Z\times \mathbb Z$ , y que $K_0(\phi)(m,n)=(n,m)$ .