Un$\arcsin$ desigualdad

Question

Mostrar que si $0<|x|,|y|<1$, luego $$\arcsin |x| +\arcsin |y| > \arcsin\left|\frac{x+y}{1+xy}\right|.$$

He encontrado una prueba (ver más abajo). Es allí una manera diferente (esperemos más sencillo) para mostrar que la desigualdad anterior se mantiene? Cualquier referencia a similar desigualdades?

Prueba. Deje $a=\mathrm{arctanh}(x)\not=0$, $b=\mathrm{arctanh}(y)\not=0$ y deje $$h(t)=\arcsin(\tanh(t)).$$ Entonces la desigualdad es equivalente a $$h(|a|)+h(|b|)>h(|a+b|).$$ Ahora, $h(0)=0$, $h$ es monotono y estrictamente cóncava en $(0,+\infty)$ (tenga en cuenta que $h''(t)=-\sqrt{1-\tanh^2(t)}\tanh(t)$). Por lo tanto $$h(|a|)>\frac{|b|h(0)}{|a|+|b|}+\frac{|a|h(|a|+|b|)}{|a|+|b|}=\frac{|a|h(|a|+|b|)}{|a|+|b|}.$$ Del mismo modo $$h(|b|)>\frac{|b|h(|a|+|b|)}{|a|+|b|},$$ Después de sumar las dos últimas desigualdades tenemos $$h(|a|)+h(|b|)>h(|a|+|b|)\geq h(|a+b|)$$ y hemos terminado.

Answer 1

Es suficiente para demostrar que $$\cos\left(\arcsin|x|+\arcsin|y|\right)<\cos\arcsin\left|\frac{x+y}{1+xy}\right|$ $ o $$\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}-|xy|<\sqrt{1-\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)^2}$ $ o $$|xy|>\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}-\frac{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}{1+xy}$ $ o $$|xy|(1+xy)>xy\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)},$ $ para lo cual es suficiente para demostrar que $$(1+xy)^2>(1-x^2)(1-y^2)$$ or $$(x+y)^2>0.$ $ La igualdad no ocurre porque para $x+y=0$ obtenemos $xy<0$ .

¡Hecho!