Pregunta sobre polinomios irreducibles sobre campos finitos.

Question

Tengo el polinomio $f(T)=T^2+T+1$; entonces, para que los números primos $p$ no $f(T)$ tienen raíces en $\Bbb F_p$?

He intentado de esta manera: desde las tres raíces de $f(T)$ son generados a partir de la raíz cúbica de $1$, la necesitamos para ser incluida en el campo de $\Bbb F_p$; es decir, que $m^3\equiv 1$ $($mod $p)$ para algunos $m\in \Bbb F_p$. Por ejemplo, en $\Bbb F_7$ tenemos que $2^3\equiv 1 $ $($mod $7)$ y, de hecho, en este campo $2$ es una raíz del polinomio $f$; sin embargo, yo no sé cómo describir, en general, en el que los campos $f(T)$ es reducible y en la que no lo es.

Gracias :)

Answer 1

Sugerencia : use $4f(T)=(2T+1)^2+3$ y reciprocidad cuadrática.

Answer 2

Estás justo por ahí. Como ha observado, $f(T)$ tiene raíces en $\Bbb Z / p \Bbb Z$ si y solo si $1$ tiene raíces cúbicas no triviales en ese campo. Y como el grupo multiplicativo tiene un orden $\lvert (\Bbb Z / p \Bbb Z)^* \rvert = p-1$ y es cíclico, eso ocurre exactamente cuando $p \equiv 1 \pmod{6}$ .