Yo no soy de las matemáticas chico de por sí, pero estoy tratando de entender la DFT. Llego al punto donde los números imaginarios son utilizados con la fórmula de Euler. Lo que yo no entiendo es por qué necesitamos un plano imaginario o "i", para empezar, ya podemos trazar cualquier punto en un avión real utilizando el pecado y cos ? Estoy utilizando este sitio y tengo que llegar a la fórmula de Euler de la página antes de que me bloqueo. Soy un Músico/Programador tratando de ampliar mis conocimientos.
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CodeMonkey1313
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Creo que en el sentido de que usted está pidiendo, no en el hecho de "necesidad" en el plano complejo. Puedes usar el avión real con los pares de coordenadas. Que la elección de escribir $$ (\cos \theta , \sin \theta) $$ en lugar de $$ e^{i \theta} . $$ Pero si no la evitan el número complejo formalismo que se pierda cierta notación compacta y algo de álgebra que le ayuda a entender cómo la DFT obras. En particular, la identidad $$ e^{i (\sigma + \theta)} = e^{i \sigma} e^{i \theta} $$ es mucho más sugerente que la adición de fórmulas para $\sin$ e $\cos$.
araomis
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58
Es cierto que al final puede utilizar el real de la serie de Fourier o el más complejo y son iguales. No puedo pensar en un argumento (que creo que es muy importante) ¿por qué el complejo de la serie de Fourier es importante:
Considere algunas de función $f$ para el que desea encontrar el verdadero serie de Fourier. Para hacer eso tienes que calcular todos los coeficientes $a_i, b_i$ en la serie de $f(x) = a_0 + \Sigma_{i = 1}^{\infty}a_icos(ix) + b_isin(ix)$: Los coeficientes pueden ser calculadas como las integrales, para la $a_k$s: $a_k = 2/T\int_{-T/2}^{T/2}f(t)cos(\frac{kt2\pi}{T})dt$ donde $T$ denota el periodo fundamental de la función de $f$. A veces, estas integrales son difíciles de calcular, pero es más fácil calcular las integrales que son necesarios para el complejo de Fourier la serie de coeficientes (usando el teorema del residuo complejo de análisis, por ejemplo).
Por supuesto, usted puede calcular los coeficientes reales una vez encontrados los coeficientes complejos. Pero la cosa es que por el bien de cálculo de los coeficientes complejos son a menudo muy útil.
Puesto que usted es un programador: con el fin De comprender las bibliotecas que implementan la DFT que sin duda tendrá que aprender acerca de la compleja serie de Fourier.
Ya que usted es un músico: El real de la serie de Fourier es más interesante aquí, porque los coeficientes se interpretan fácilmente. El sonido de un instrumento en particular está determinada por su forma de onda. Su forma de onda es una función periódica para que usted puede encontrar el verdadero serie de Fourier. En esta representación el coeficiente de decirle que los armónicos son las más relevantes para este instrumento. Por ejemplo: Usted está jugando Una 'a' ($440$Hz) en su instrumento, por lo tanto su periodo fundamental es $1/440s$. Ahora se supone que todas las $a_k$'s son cero y que $b_2$ es significativamente mayor que la de otros coeficientes en el real de la serie de Fourier de la representación de su forma de onda. Esto significa que el período de $1/880s$ es importante el sentido de que el entonado en $880$Hz está fuertemente representado en su instrumento.
billythekid
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No es necesario el uso de la compleja serie de Fourier para muchas aplicaciones. La Wikipedia artículo Discreta del coseno transorm se describen algunas de ellas de la siguiente manera:
DCTs son importantes para numerosas aplicaciones en las ciencias y la ingeniería, de compresión con pérdida de datos de audio (por ejemplo, MP3) e imágenes (por ejemplo, JPEG) (donde los pequeños componentes de alta frecuencia puede ser descartado), a los métodos espectrales para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales
El artículo agrega que entre las variantes de la transformación del
el discreto seno de transformación (horario de verano), que es equivalente a una DFT de la real e impar funciones
Más adelante en más detalle lo que los estados
La obvia distinción entre un TERMINAL y un DFT es que el primero utiliza sólo coseno funciones, mientras que la segunda utiliza tanto los cosenos y senos (en la forma de exponenciales complejas).
Usted puede leer el artículo para obtener más detalles técnicos punteros y referencias para más información. El resumen es que la compleja serie de Fourier es elegante, pero para muchas aplicaciones del mundo real, hay ventajas claras para el uso de la DCT. Esto no negar la gran importancia de la DFT teórica a los efectos de que se basa en el uso de la fórmula de Euler para modelar el movimiento armónico simple. En otras palabras, simple el movimiento armónico está estrechamente relacionado con el movimiento circular usando la identidad importante $\, \sin(t)^2 + \cos(t)^2 = 1\,$ y que $\, \frac{d}{dt}\sin(t) = \cos(t), \: \frac{d}{dt} \cos(t) = -\sin(t).\,$ El hecho de que estos son, naturalmente, modelado por los números complejos es uno de los resultados más llamativos de toda la matemática.
