Axiomas de homología y cohomología para complejos CW

Question

Esto se relaciona con la afirmación hecha en Hatcher, Algebraic Topology, Chpt 3, Sec 1 y Chpt 2.

Escribiré los axiomas para la cohomología y los axiomas para la homología se escriben de forma similar.

La teoría de cohomología para los complejos CW es una secuencia de funtores contravariantes con el mapa de frontera $\delta:H^n(A)\to H^{n+1}(X/A)$ donde $(X,A)$ es un par CW que implica $X/A$ tiene sentido como complejo CW y satisface los siguientes axiomas.

(1) Si $f,g$ son homotópicas, entonces $f,g$ induce el mismo mapa en la cohomología.

(2) Para cada par CW complejo $(X,A)$ hay una secuencia exacta larga inducida por $...H^n(X/A)\to H^n(X)\to H^n(A)\to H^{n-1}(X/A)...$

(3) Para sumas de cuña de $X_i$ Complejos de CW, $X=\vee X_i$ para la inclusión canónica $X_i\to X$ , $H^\star(X)\cong\prod_iH^\star(X_i)$ .

$\textbf{Q:}$ Para los axiomas de Eilenberg-Steenrod, recuerdo que para espacios disjuntos $X=\bigsqcup X_i$ Tengo $H^\star(X)\cong\prod_i H^\star(X_i)$ . ¿Cómo se deduce la unión disjunta de los axiomas anteriores? Tenga en cuenta que ni siquiera tengo $H^i(pt)=0$ para $i\neq 0$ aquí y tampoco puedo decir $H^i(\bigsqcup x_j)=\bigoplus_jH^i(x_j)$ para $x_j$ siendo puntos. Así que ni siquiera veo cómo aplicar $(2)$ .

Answer 1

El enfoque de Hatcher es algo inusual, aunque tiene la ventaja de ser muy transparente. Hatcher define un teoría de cohomología de espacio único reducido para complejos CW sin base . De hecho, los complejos CW que se producen no tienen puntos de base, y no hay grupos relativos $H^n(X,A)$ pero sólo los grupos de espacios individuales $H^n(Z)$ . La teoría se reduce porque todos los $H^n(pt) = 0$ (considere la secuencia exacta del par $(pt,pt)$ como en el comentario de Rylee Lyman).

Los axiomas de Eilenberg-Steenrod se aplican a las teorías definidas sobre pares. Por tanto, hay que asociar a una teoría de cohomología en el sentido de Hatcher una teoría de cohomología para pares CW. Nótese que ésta será una teoría de cohomología generalizada (que no necesariamente satisface el axioma de dimensión). Dada la teoría de Hatcher $H^n$ el enfoque habitual es definir $\mathcal{H}^n(X,A) = H^n(X/A)$ . Para $A = \emptyset$ interpretamos $X/A$ como $X^+$ = unión disjunta de $X$ y un punto aislado que no está en $X$ . Se puede demostrar que esto es de hecho una teoría de cohomología. El axioma de escisión tiene que ser interpretado con cuidado porque sólo podemos escisión $U \subset A$ tal que $cl(U) \subset int(A)$ y $(X \setminus U, A \setminus U)$ es de nuevo un par CW.

Ahora tienes $\mathcal{H}^n(X) = \mathcal{H}^n(X,\emptyset) = H^n(X^+)$ . Para $X = \bigsqcup X_i$ se obtiene $$\mathcal{H}^n(X) = H^n(X^+) = H^n(\bigvee X^+_i) \approx \prod H^n(X^+_i) = \prod \mathcal{H}^n(X_i) .$$