Sé que una colección de medida de probabilidad $(\mu_\varepsilon )_{\varepsilon > 0}$ en un espacio de medidas (topológico) $(X,\mu)$ es ajustado si para todo $\varepsilon >0$ existe un $K_\varepsilon \subset X$ tal que $\mu_\varepsilon (K_\varepsilon)>1-\varepsilon $ para todos $\varepsilon >0$ .
Pregunta : ¿Qué significa esto en concreto y por qué es importante?
Concreta e intuitivamente, esto significa que el comportamiento global de $(\mu_t )_{t> 0}$ no está muy lejos de la de un conjunto compacto. Y la propiedad de compacidad ayuda a derivar buenas características de las medidas (por ejemplo, el espacio de funciones continuas sobre un conjunto compacto es más fácil de manejar que el espacio de funciones continuas y acotadas sobre todo el conjunto).
La cuestión es que las familias estrechas en un espacio métrico desempeñan el mismo papel que los conjuntos relativamente compactos en topología general. En particular, se puede extraer de una familia ajustada una subsecuencia convergente (teorema de Prokhorov). Esto es fundamental cuando se quiere demostrar la convergencia en la distribución porque normalmente la estrategia es demostrar la estrechez y demostrar que el límite potencial de una subsecuencia es único.
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