Uno de los requisitos de la MVT es que la función sea continua en cada punto en el intervalo cerrado $a\leq x\leq b$. Si llamamos a la función $f(x)$, estoy confundido acerca de cómo la función es continua en los puntos de $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$. La definición de una función continua en un punto (vamos a llamar a ese punto de $(c, f(c)))$ es que $ \lim_{x\to c} f(x) = f(c).$ Si tomamos el punto de $(a, f(a))$, para $f(x)$ ser continua en $(a, f(a))$, $ \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ debe ser cierto. Sin embargo, no puede debido a que los dos lados del límite no existe. $x$ puede acercarse a $a$ desde la derecha, pero no de la izquierda, y $x$ puede acercarse a $b$ desde la izquierda, pero no de la derecha. Así que no "tiene que ser continua en cada punto de" ser en realidad "tiene que ser definido en cada punto"?
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Las otras respuestas, hacer un buen trabajo se aborda la cuestión desde una perspectiva analítica. Topológicamente, hay un análogo de explicación (que existe porque métrica espacios como $\mathbb{R}$ también son espacios topológicos, una clase más general de los objetos):
Definición: Una función de $f:X \to Y$ entre espacios topológicos es continua si para cada conjunto abierto $U \subset Y$, su preimagen $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$.
Nota: Cuando se $X$ e $Y$ son espacios métricos, esta definición de continuidad de acuerdo con la epsilon-delta definición de análisis. Los bloques abiertos en un espacio métrico son los sindicatos de abrir "bolas"; ver aquí.
Así user532874 la preocupación puede ser expresado de la siguiente manera:
Considere la posibilidad de un supuestamente función continua $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y el conjunto abierto $\Big(f(a) \! - \! \varepsilon, \ f(a) \! + \! \varepsilon\Big)$ para un pequeño $\varepsilon >0$. Si $f$ es continua, entonces la preimagen de este conjunto debe ser un conjunto abierto así. Pero la preimagen lugar incluye una mitad-intervalo abierto $[a,c)$ o, incluso, si $f$ es constante, todo el intervalo cerrado $[a,b]$. Aparentemente, este preimagen no está abierto: en particular, no parece ser ningún "espacio de maniobra" en torno a $x=a$. ¿Por qué?
Y la respuesta es que, si $U$ es un subconjunto de un espacio topológico $X$ y tenemos una función continua $g:U \to Y$, entonces la preimagen de abrir establece en $Y$ estará abierto no con respecto al $X$, pero a $U$ que ha sido dotado de la topología de subespacio. En virtud de esta topología, el abierto de conjuntos de $U$ se $\{V \cap U \ | \ \text{V is an open set w.r.t. X}\}$.
En nuestro escenario, tenemos $X = \mathbb{R}$ e $U = [a,b]$. Dada la topología de subespacio, tenga en cuenta que un medio abierto intervalo de $[a,c)$ en realidad es "totalmente" abierta en $[a,b]$ porque $[a,c) = [a,b] \cap (a \! - \delta, \ c)$ cualquier $\delta > 0$, y este intervalo de $(a \! - \delta, \ c)$ está abierto en $\mathbb{R}$. Asimismo, $[a,b]$ es abierta con respecto a sí mismo desde $[a,b] = [a,b] \cap (a \! - \! \delta, \ b \! + \! \delta)$.
Usando la definición de límite,"se aproxima a" $a$ significa que para cualquier número real $\delta >0$ (no importa que tan "pequeño"), consideramos que los elementos de la $x\in [a,b]$ tal que $|a-x|\le\delta$, y del mismo modo para $b$. Esto implica que estos elementos tan cerca de $a$ (o $b$) que puedan ser, deben estar en el dominio de $f$ en el primer lugar, y como resultado, el límite existe, si es que existe desde el lado podemos acercarnos a $a$ (o $b$). (Tenga en cuenta que $f$ es de hecho definido en $a$ e $b$ porque están en el dominio de $f$ por hipótesis)
Espero que esto ayude!
Solemos decir que una función es continua en un punto final de su dominio si es continuo como uno se acerca al extremo de todas las direcciones posibles (que es sólo desde dentro del intervalo de aquí).
Un ejemplo es la función de $\sqrt x,$ definido en $[0,+\infty),$ que es continua en $x=0.$ sin Embargo, la función definida en el mismo dominio por $0$ cuando $x=0$ e $1/x$ elsewise es discontinuo allí.
