$6$ alfiles y un caballo en un tablero de ajedrez infinito

Question

Jugador $A$ lugares $6$ alfiles donde quiera en el tablero de ajedrez con un número infinito de filas y columnas. Jugador $B$ coloca un caballero donde quiera.

Entonces $A$ hace un movimiento, entonces $B$ y así sucesivamente...

El objetivo de $A$ es dar jaque mate $B$ , es decir, atacar al caballero de $B$ con el alfil de tal manera que el caballo de $B$ no puede moverse más porque todas las casillas a las que puede moverse están bajo el ataque de los alfiles.

$B$ gana si tiene una estrategia ganadora, es decir, si se mueve de tal manera que $A$ nunca le dará jaque mate y, por supuesto, $B$ siempre juega la mejor estrategia posible.

Intentamos en un chat demostrar que $6$ los obispos siempre son suficientes para $A$ para ganar, pero, todavía no tenemos una prueba.

Es $6$ el número mínimo de obispos necesarios para asegurar $A$ ¿una estrategia ganadora?

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Hay dos versiones:

1) Un caballo puede capturar alfiles.

2) Un caballo no puede capturar alfiles.

Me gustaría ver la solución de al menos una versión.

Answer 1

La estrategia que describiré se basa en la respuesta aquí . El caballo podrá capturar alfiles, pero nos aseguraremos de que nunca tenga la oportunidad.

1. Coloque 3 alfiles de casillas negras y 3 alfiles de casillas blancas lo suficientemente separados para que el caballo no pueda bifurcar inmediatamente a dos de ellos.

2. A continuación, forme un "muro diagonal" lo suficientemente alejado del caballo colocando tres alfiles uno al lado del otro en una fila. Haz lo mismo con los otros tres alfiles del otro lado del caballo.

Obsérvese que los muros serán de diferente "paridad", uno consta de dos alfiles de casillas negras y uno de casillas blancas y el otro con los colores intercambiados.

En la respuesta enlazada anteriormente, un muro tenía cuatro obispos. Esto permitía $A$ para hacer avanzar constantemente este muro mientras se mantiene intacto el muro de la anchura tres. Como el caballero no puede cruzar un muro de anchura tres, $B$ finalmente se queda sin espacio.

Aquí el muro no puede moverse por sí mismo sin crear huecos. Para garantizar que el caballero nunca pueda saltar el muro, utilizaremos el hecho de que el caballero sólo puede saltar en una casilla del mismo color que su casilla actual. Describimos la secuencia para el muro de dos alfil(es) de casillas blancas y uno de casillas negras. En todos los cuadros siguientes, las blancas deben mover. Es importante que el caballo esté en una casilla negra. Las flechas verdes representan el muro.

La posición exacta del caballo es sólo un ejemplo. Las blancas mueven primero el alfil del medio. EDIT: Mover el alfil del medio puede dar problemas. Como ha señalado ArsenBerk, hay que mover primero el alfil que está más atrás (y sólo después el del medio. Esto sólo es problemático si el caballo se encuentra en una casilla negra de la diagonal que está directamente frente al muro. En ese caso, mueve la otra pared.

En este momento, hay una brecha en el muro, pero como el caballo estaba en una casilla negra, no podía aprovecharla. A continuación las blancas mueven el alfil de atrás para construir la nueva cara del muro.

La misma secuencia que se acaba de reflejar permitirá a los tres alfiles volver a la posición inicial de tres alfiles seguidos.

Si el caballo se acerca a un grupo de alfiles, simplemente los alejamos a lo largo del muro sin mover el muro.

3. Con la secuencia de movimientos descrita anteriormente, forzamos al caballo en el corredor de la anchura dos ilustrado aquí:

Los obispos están a cierta distancia y no aparecen en la foto. Las casillas resaltadas son las casillas restantes del caballo. Sólo puede moverse hacia arriba o hacia abajo en el corredor. Con 7 alfiles, $A$ sería capaz de hacer el caballero cerrando el muro. Con sólo 6, los alfiles tendrán que ponerse un poco cómodos con el caballo ahora. Podemos suponer que las blancas van a jugar aquí.

4. Mate de la siguiente manera:

Arrastraremos un alfil por la pared para desafiar al caballo.

En aras de la ilustración, suponemos que se mueve hacia abajo. (El tablero está desplazado hacia arriba y a la derecha ahora).

Ahora bloquearemos el camino hacia abajo para el caballo, pero para evitar el estancamiento, dejamos una casilla para que el caballo se mueva.

Inmediatamente desafiamos al caballero, dejando sólo una casilla abierta.

Esta es la posición final de acoplamiento. Obsérvese que ningún alfil es atacado en esta secuencia y que (salvo la elección inicial de subir o bajar) todas las jugadas son forzadas para el negro.