¿Son los espacios topológicos contables contables en segundo lugar?

Question

Son espacios contables (es decir $\mathbb{N}$ con cualquier topología) contable en segundo lugar? Un espacio contable puede tener como máximo $2^\omega$ subconjuntos abiertos, lo que sugiere que puede existir un contraejemplo. Por otra parte, tanto los espacios discretos como los antidiscretos (o, más en general, con topología contable) son contables en segundo lugar. Nótese también que, obviamente, un espacio contable es separable. Por tanto, si además es metrizable, entonces es contable en segundo lugar.

Pero no pude probarlo en general. ¿O hay algún contraejemplo?

Answer 1

Considere $ω$ muchas secuencias convergentes, y pegar sus límites. El espacio resultante no tendrá base contable en el punto límite común.

Obsérvese también que un espacio contable es contable en segundo lugar si y sólo si es contable en primer lugar.

Answer 2

Llévese un ultrafiltro gratis en $\mathbb{N}$ y añada $\emptyset$ para convertirlo en una topología. Los hechos estándar sobre ultrafiltros nos dicen que esto no es segundo contable.

Otro ejemplo avanzado :let $x \in \omega^\ast$ y que $X= \omega \cup \{x\}$ en la topología del subespacio.

O deja que $D$ sea un subconjunto denso contable de $\{0,1\}^{\Bbb R}$ en la topología del producto. He escrito mucho sobre estos espacios aquí .