¿Está Cerrado?

Question

Deje $C \subset R^n$ ser cerrado, convexo cono. Deje $T: R^n \to R^m$ ser una transformación lineal.

Es $T(C) \subseteq R^m$ cerrado?

Yo soy muy positivo que la respuesta es NO. Pero yo no podía llegar a un contador de ejemplo hasta ahora. También me di cuenta de que cualquier contador de ejemplo (si existe) tiene que ser en la Dimensión $n \geq 3$, de lo contrario $C$ se convierte en un poliédrica y así es $T(C)$.

Answer 1

Muchas gracias a @Shalop que tuvo la idea de utilizar el viejo y simple los conos como un contraejemplo, acabo de limpiar el álgebra.

Así, mediante la rotación del cono definido por $x^2+y^2=z^2;z\geq0$ por $45$ grados hacia el positivo de la $x$-eje, se obtiene el cono $y^2=2xz$ (este es sólo un ejercicio en $2D$ rotaciones). La proyección de este cono a la $xy$ plano es el conjunto de $$S=\{(x,y):x>0\}\cup\{(0,0)\}$$ Esto es fácil de ver. Si $x=0$, a continuación, $y^2=0$ y tan sólo el vertical ray $(0,0,z);z\geq0$ obtener proyectada en la $y$-eje en el punto de $(0,0)$. Si $x>0$, obtenemos que el punto de $(x,y,y^2/2x)$ es en el cono y se pone proyectado en $(x,y)$. Esto cubre todas las posibilidades, por lo que la proyección del cono es $S$ pero $S$ no está cerrado.

Answer 2

La pregunta ya está contestada por @J_P. Aquí hay otra manera de pensar: Hay dos cerrado convexo $C_1$ e $C_2$ en $R^2$ cuyo su suma es decir, $C_1 + C_2$ no está cerrado ver "https://math.stackexchange.com/a/3273305/219176"

Claramente $C_1 \times C_2$ es cerrado convexo de cono. Ahora tome la transformación lineal $T(x,y)= x+y$ entonces tenemos $T(C_1 \times C_2) = C_1 + C_2$.

Answer 3

La respuesta es SÍ. Deje $S$ ser un centro (no necesariamente único) de $C$. $T(C)$ es un cono (no necesariamente único) centro de $T(S)$. Considere la posibilidad de $C' = C \cap B_f(S, 1)$, donde $B_f(S,1)$ es la bola cerrada de radio 1 y centro $S$. $C'$ es compacto, por lo que es $T(C')$. $C$ se obtiene a partir de $C'$ a través de homotheties de centro $S$. Lineal homotheties desplazamientos con transformaciones lineales, por lo $T(C)$ se obtiene a partir de $T(C')$ a través de homotheties de centro $S'$.

Por lo $T(C)$ es una contables de la unión de aumentar compacto conjuntos de $K_k = \rho_k (T(C'))$ donde $\rho_k$ es el homothetie de centro $S'$ y el factor de escala $k$. Deje $(z_k = T(y_k))$ una secuencia de $T(C)$ que converge en $R^m$. Por lo que es acotado, y pertenece a un fijo $K_{k'}$, compacto. Por lo tanto, converge en $K_{k'}$, y así en $T(C)$.

Pero probablemente no es cierto en dimensión infinita (por favor, dime si quieres que piense acerca de un contador ejemplo)