Encuentre un ejemplo de un conjunto de puntos del plano tal que existan al menos$2^{n-2}$ particiones buenas.

Question

Si un conjunto de $n$ puntos del plano se puede dividir en dos subconjuntos $\{ A_1, A_2, \dots, A_k\}$ e $\{ B_1, B_2, \dots, B_{n-k}\}$ , de manera que hay un punto de $M$ del plano tal que $$ MA_1+ MA_2+ \dots+MA_k= MB_1+ MB_2+ \dots+MB_{n-k},$$ entonces podemos decir que existe una buena partición del conjunto de estos $n$ puntos del plano.

Demostrar que para todos los $n \ge 2$ hay un conjunto de $n$ puntos del plano tales que el número de partición de este conjunto es de no menos de $2^{n-2}$.

Particiones en el que dos conjuntos de $A$ e $B$ cambio entre ellos son las mismas particiones.

De mi trabajo. He intentado colocar los puntos en los vértices de un polígono regular o en una línea en la misma distancia unos de otros. Pero es difícil probar que el problema para estos casos.

Answer 1

Poner $n-1$ puntos en una bola de radio $\epsilon$ y un punto que está a una distancia $R$ desde el origen. Hacer $\epsilon = R/(1000n)$. Elija cualquier punto en el círculo y el punto que está muy lejos. Llamar a estos puntos de puntos especiales. Ahora partición de los otros $n-2$ puntos en dos conjuntos de forma arbitraria. Llamar a estas particiones del conjunto de $A$ e $B$.

Ahora extender la partición añadiendo el punto especial que está dentro del círculo de manera que los dos conjuntos tienen diferentes tamaños. Podemos suponer que $|A| > |B|$ después de agregar en este punto en especial. Ahora asigne el otro punto en especial que es muy lejos para establecer $B$. Esto nos da $2^{n-2}$ posibles particiones. Nos muestran que cada partición es bueno.

Deje $f(M) = \sum_{A_i \in A} MA_i - \sum_{B_i \in B} MB_i$. Tenga en cuenta que $f$ es una función continua en $M$. Ahora vamos a $M_1$ ser el origen del círculo. Podemos calcular que

$$ f(M_1) \le \frac{Rn}{500n} -R < 0.$$

Deje $M_2$ ser el punto especial que está muy lejos del círculo. Tenemos

\begin{align*} f(M_2) &\ge (R-\epsilon)|A|-(R+\epsilon)(|B|-1) \\ &\ge R(|A|-(|B|-1)) - \epsilon n \\ &\ge R-\epsilon n > 0 \end{align*} donde hemos utilizado el hecho de que $|A| > |B|-1$ debido a la forma en que hemos añadido los puntos especiales.

Entonces por el teorema del valor intermedio, existe algún punto en el plano de tal manera que $f = 0$, como se desee.