Muestran que

Question

Deje $p(x)$ ser un polinomio con coeficientes reales tales que $a\le c \le b$ donde $a,b$ son dos consecutivos raíces de $p(x)$. Demostrar que existe al menos un c para el cual $$p'(c)+100p(c)=0$$

Bien, esto es lo que he intentado, Por Lagrange del Valor medio Teorema podemos encontrar un punto de $c$ en el intervalo de $[a,b]$ tal que $p'(c)=0$ pero en ese momento, $100p(c)$ no $0$. He probado algunas otras maneras, pero no creo que los va a funcionar. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Deje $f(x)=e^{100x}p(x)$ . Dado que $f(a)=f(b)=0$ , el teorema del valor medio de Lagrange implica que existe $c$ , $a\le c\le b$ , tal que $f'(c)=0$ , entonces \begin{align*} e^{100c}p'(c)+100e^{100c}p(c)=0 \end {align *} Desde $e^{100c}\neq 0$ sigue a $$p'(c)+100p(c)=0$ $

Answer 2

Usted puede factorizar $p$: $$ p(x)=(x-a)^{n}(x-b)^mq(x);\quad n,m\geq1 $$ Entonces: $$ p'(x)=(n(x-a)^{n-1}(x-b)^m+m(x-a)^n(x-b)^{m-1})p(x)+(x-a)^{n}(x-b)^mq'(x) $$ Caculate de los límites: $$ \lim_{x\rightarrow b^-}\frac{p'(x)}{p(x)}=\lim_{x\rightarrow b^-}\left(\frac{q'(x)}{q(x)}+\frac{n}{x-a}+\frac{m}{x-b}\right)=-\infty\\ \lim_{x\rightarrow a^+}\frac{p'(x)}{p(x)}=\lim_{x\rightarrow a^+}\left(\frac{q'(x)}{q(x)}+\frac{n}{x-a}+\frac{m}{x-b}\right)=+\infty $$ Por lo tanto, existe un $c\in(a,b)$ tal forma que: $$ \frac{p'(c)}{p(c)}=-100\\ p'(c)+100p(c)=0 $$

Answer 3

$p(x)$ es una función suave, lo $p'(x) + 100p(x)$ es una función suave así.

Caso 1: $0 \ne \text{sign}(p'(a)) \neq \text{sign}(p'(b)) \neq 0$. Por tanto, dos puntos donde la función es positiva y negativa: $p'(a) + 100p(a) < 0$ e $p'(b) + 100p(b) > 0$ (o viceversa). Como la función es suave, es continua en todas partes, de ahí que haya que asumir $0$ entre $a$ e $b$.

Caso 2: $\text{sign}(p'(a)) = 0$ o $\text{sign}(p'(b)) = 0$. En este caso, $p'(a) + 100p(a) = 0$ o $p'(b) + 100p(b) = 0$ como $a$ e $b$ son raíces.