El problema de Completar Intersección en $\textbf P^n$ (a partir de Hartshorne).

Question

Estoy en problemas con el Ejercicio 8.4 en Hartshorne del Capítulo II; estoy haciendo la parte (a). Se trata de (global) completar intersección en $\textbf P^n$. Para aquellos sin Hartshorne libro en la mano, que yo describo el problema:

$Y$ es un cerrado subscheme de $\textbf P^n$ de codimension $r<n$. Supongo que $Y$, como un esquema, es el mismo que $H_1\cap\dots\cap H_r$ donde $H_i=V_+(f_i)$ son hypersurfaces. Tengo que demostrar que $Y$ es una completa intersección (es decir, su ideal homogéneo $I(Y)$ puede ser generado por $r$ elementos).

Bueno, sé que el anillo de $S=k[x_0,\dots,x_n]$ es Cohen-Macauley, así que tenemos la unmixedness teorema de la $S$. Es decir, siempre que un ideal $J\subset S$ de codimension $q$ puede ser generado por $q$ elementos, es sin mezclar: comparte su propia altura con todos sus asociados de los números primos - los elementos de la $\textrm{Ass}_S(S/J)$. Por lo tanto, lo que puedo decir (?) es

\begin{equation} r=\textrm{ht}\,(f_1,\dots,f_r)=\textrm{ht}\,I(Y) \end{equation}

y, por tanto, $L:=(f_1,\dots,f_r)$ es sin mezclar. Así que si $\mathfrak p$ es una asociada (necesariamente mínima) prime para $L$$\textrm{ht}\,\mathfrak p=r$. Si asumo, por contradicción, que $I(Y)\neq L$, entonces, ¿qué sucede? No puedo encontrar una contradicción.

Muchas gracias!

Answer 1

Suponga $Y$ es un esquema teórico de la intersección $\mathcal{I}_Y=\mathcal{I}_{H_1}+...+\mathcal{I}_{H_r}$. Voy a utilizar su notación, por lo que el $S$ es el polinomio de anillo, $I(Y)$ es el (único) saturado homogénea ideal asociado a $Y$, $(f_i)$ es el ideal homogéneo asociado a $H_i$, e $L:=(f_1,...,f_r)$. Yo también uso la notación $U_j$ para el estándar afín a abrir conjuntos de $\mathbb{P}^{n}$.

Reclamo: Los ideales de la $I(Y)$ $L$ definir la misma cerrado subscheme de $\mathbb{P}^{n}$.

Prueba: Supongamos $\mathcal{L}$ ser el ideal gavilla asociados a la cerrada subscheme definido por $L$. Observar que $\mathcal{I}_Y(U_j)=\sum{\mathcal{I}_{H_i}(U_j)}=(f_1/{x_j^{deg(f_1)}},...,f_r/{x_j^{deg(f_r)}})=\mathcal{L}(U_j)$. Desde $I(Y)$ $L$ están asociados a cerrado subschemes que tienen el mismo ideal poleas, la demanda está probado.

De ello se desprende que $I(Y)$ es la saturación de $L$, y por lo que es suficiente para demostrar que $L$ es saturada. Uno puede mostrar que Hartshorne la definición de "saturación" de $L$ en Ex II.5.10 es equivalente a la definición de $(L:m^\infty)=\cup(L:m^d)$ sobre todos los enteros positivos $d$ donde $m$ denota la irrelevante ideal.

Suponemos que, al contrario, $L$ no está saturado. En un Noetherian anillo al menos, tenemos $(L:m^\infty)=\cap(q:m^\infty)$ donde $q$ rangos de los ideales en algunos mínimo primaria de la descomposición de $L$. Desde $L$ no está saturado, tenemos por lo menos uno de estos $q$ que $(q:m^\infty)$ correctamente contiene $q$. Con algo de trabajo, se deduce que el $q$ $m$- primaria. Pero, a continuación, $L$ ha incorporado un componente, lo que contradice la unmixedness teorema. Debe ser que $L$ es saturada, por lo tanto $L=I(Y)$.