¿Existe una categoría en la que los productos no existen porque falla la unicidad?

Question

Yo estaba buscando en esta pregunta sobre las categorías sin productos, y los ejemplos principales son:

1. campos
2. colectores con el límite de
3. posets

Pero todos ellos parecen fallar por cualquiera de las razones estructurales (campos/colectores) o, simplemente, no hay una definición de producto en la categoría de disponible (posets)

Mi pregunta es, hay un ejemplo de una categoría en la que ha "pseudo-productos", es decir, que coincida con todos los requisitos de la definición del producto, con la excepción de que falle la singularidad de la condición? ¿Esta pregunta sentido pedir?

Answer 1

Seguro. Por ejemplo, la categoría de conjuntos cuya cardinalidad es no $4$. Esta categoría, obviamente, tiene todos los productos, excepto para un producto de dos $2$-elemento de conjuntos (o productos de la más alta arity donde dos de los factores que se tienen dos elementos y el resto tiene uno, que son esencialmente la misma cosa desde un singleton es terminal). Pero la debilidad del producto de dos $2$-elemento de conjuntos (llamarlos $A$ e $B$) todavía existen. Por ejemplo, supongamos $C$ ser cualquier conjunto con más de un elemento y considerar la posibilidad de $P=A\times B\times C$ con sus proyecciones $p$ e $q$ a $A$ e $B$. Puedo reclamar $(P,p,q)$ es un producto débil de $A$ e $B$ (es decir, se satisface la definición de un producto, con excepción de la singularidad de los mapas). De hecho, vamos a $Q$ ser cualquier conjunto y $f:Q\to A$, $g:Q\to B$. Elija cualquier función de $c:Q\to C$ (dicha función existe desde $C$ es no vacío), y definir $h:Q\to P$ por $h(x)=(f(x),g(x),c(x))$. A continuación, $ph=f$ e $qh=g$, como se desee.

(Tenga en cuenta que ningún producto de $A$ e $B$ existe en esta categoría, ya que considerando los mapas de un singleton conjunto, un producto de este tipo tendría que tener $4$ elementos.)