Encontrando transformaciones unimodulares explícitas para las matrices K de Chern-Simons

Question

Una invertible, simétrica de la matriz con el entero de las entradas, $K$, que codifica el trenzado y estadísticas de un Abelian topológicamente estado ordenado, es equivalente a otra matriz, $K'$, si existe un entero unimodular de la matriz, $W$, de tal manera que $$W^T K W = K'$$ Supongamos que tengo $K$ e $K'$ y desea encontrar un $W$. ¿Existe un procedimiento general para encontrar esto? No puedo encontrar una particular forma inteligente de hacerlo. Sin embargo, parece que tal vez la gente sabe cómo hacerlo, ya que en -

http://arxiv.org/abs/1404.6256 y https://arxiv.org/abs/1310.5708

ellos encuentran un gran $W$ matrices (aun $10\times 10$). Me gustaría saber si esto solo se puede hacer en general, en ciertos casos (en sistemas con ningún orden topológico, es decir, det$|K| = 1$) o de se conoce el procedimiento para la búsqueda de una transformación para cualquier $K$.

Consulte también - http://math.stackexchange.com/questions/1800488/existence-of-unimodular-congruence-transformation-for-symmetric-integer-matrice

Answer 1

Condición necesaria y suficiente para conjugacy: ver Sylvester ley de la inercia. En su nota, los dos matrices simétricas $K$ e $K'$ son conjugado por una transformación de $W^TKW = K'$ si y sólo si tienen el mismo número de autovalores positivos y negativos (no nulos valores propios, ya que ambos son nonsingular). Los autovalores de sí mismos, no necesitan ser idénticos, aunque.

Condición necesaria y suficiente para $W$ a ser unimodular: $K$ no necesita ser unimodular, pero la conjugacy relación impone $$ [\det(W)]^2 = \frac{\det(K')}{\det(K)} $$ por lo $W$ es unimodular si y sólo si $$ \det(K) = \det(K') $$

Búsqueda de la transformación de $W$: Diagonalize $K$ e $K'$ como $$ K = U^T Q U,\;\;\;\;,U^TU = UU^T = I\;\;\;\;\;Q=Q^T=\text{Diag}(\lambda_K) $$ $$ K' = {U'}^T{Q}{U'}, \;\;\;\;\;{U'}^T{U} = {U}{U}^T = I\;\;\;\;\;{Q'}={Q'}^T= \text{Diag}(\lambda_{K'}) $$ donde la diagonal de las matrices $Q$, $Q'$ lista de los autovalores $\lambda_K$, $\lambda_{K'}$ en fin, dicen desde el más pequeño al más grande. Definir $S = \text{Diag}(\sqrt{|\lambda_K|})$, ${S'} = \text{Diag}(\sqrt{|\lambda_{K'}|})$, y volver a escribir $$ Q = S^T D S,\;\;\;\;\; Q' = {S}^T D {S'} $$ donde $$D = \text{Diag}(\text{sign}(\lambda_K)) = \text{Diag}(\text{sign}(\lambda_{K'}))$$ is now a diagonal unimodular matrix, $[\det(D)]^2 = 1$. Sustituyendo todo en la conjugacy relación trae a la forma $$ (S U W)^T D (S U W) = ({S}{U'})^T D ({S}{U'}) $$ y permite la identificación, por ejemplo, $$ S U W = {S}{U'} $$ que eventualmente da $$ W = U^T S^{-1}{S}{U'} $$ Si $\det(K) = \det(K')$, a continuación, también se $\det(S) = \det(S')$ e lo $\det(W) = \pm 1$, dependiendo de la $\det(U)$, $\det(U')$.

Nota sin embargo que $W$ no es única. Cualquier ${\bar W} = U^T S^{-1}V{S'}{U'}$ con $V$ tal que $V^TDV = D$ (por ejemplo, $[V, D] = [V^T, D] = 0$ e $V^TV = I$) funciona igual de bien.