Ejercicio sobre representaciones inducidas de complejos unidimensionales

Question

Me está costando resolver el siguiente problema extraído del libro de Eingof "Introducción a la teoría de representaciones" (página 55 del libro en formato PDF http://math.mit.edu/~etingof/replect.pdf ):

Problema 5.8.5:

Sea $ K \subset G$ sea un Grupo finito, y sea $ \chi : K \stackrel{}{\rightarrow} \mathbb{C} $ sea un homomorfismo, con $ \mathbb{C}_{\chi} $ sea la correspondiente representación 1-dim. de K, con

$$ e_{\chi} = \frac{1}{|K|} \sum_{g \in K} \chi(g)^{-1}g \in \mathbb{C}[K] $$

el idempotente correspondiente a $ \chi. $ Demuestre que la representación G de $ Ind_{K}^{G} \mathbb{C}_{\chi} $ es naturalmente isomófila a $ \mathbb{C}[G]e_{\chi} $ . (Con G actuando por multiplicación a la izquierda)

Creo que mi principal problema está relacionado con el hecho de que no puedo entender realmente cómo funciona la multiplicación por la izquierda en $ \mathbb{C}[G]e_{\chi} $ para distinguirla de $ \mathbb{C}[G] $ es decir, comprender cuál es el papel de $e_{\chi}$ es.

Porque entonces mi idea, aunque no muy elegante, era definir mi función $f:G\rightarrow \mathbb{C}$ explícitamente de alguna manera natural (por ejemplo, mirar los coeficientes de las g, o algo así) a partir de lo que tengo en el lado derecho, de tal manera que la acción de la multiplicación por la izquierda en el lado derecho se comporte bien con la de la representación inducida $g(f)(x):=f(xg)$

Recuérdalo: $ Ind_{K}^{G} \mathbb{C}_{\chi}:=\left\{ f:G\rightarrow \mathbb{C}|f(hx)=\rho_V(h)f(x) \ \forall h\in H,x\in G \right\} $ con la acción definida anteriormente

¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Obsérvese que el vector $e_{\chi}$ actúa sobre $\mathbb{C}[G]$ por multiplicación por la derecha, es decir, el mapa $T: v\mapsto v e_{\chi}$ es lineal. El espacio $\mathbb{C}[G]e_{\chi}$ que nos interesa es el subespacio $\text{im}(T) \subset \mathbb{C}[G]$ . Cuando Etingof dice $G$ actúa por multiplicación por la izquierda en $\mathbb{C}[G]e_{\chi}$ esto tiene sentido: porque para cualquier $v\in \text{im}(T)$ sabemos $v = Tw = we_{\chi}$ para algunos $w\in \mathbb{C}[G]$ y luego $v \mapsto gv$ es una acción ya que $$gv = gw e_{\chi} = T(gw) \in \text{im} (T)$$

Ahora, elija un conjunto $\{g_1, \cdots, g_d\}$ de representantes del coset para $K$ . Podemos pensar en $\text{Ind}_{K}^{G} \mathbb{C}$ como la amplitud de los símbolos $\{v_{g_i}\}$ . Aquí, un elemento $g\in G$ actúa de la siguiente manera. Si $gg_i K = g_j K$ entonces hay algún $k\in K$ tal que $gg_i = g_j k$ . El resultado es $g\cdot v_{g_i} = \chi(k) v_{g_j}$ dando una acción de $g$ en la base y, por tanto, en todo el espacio.

Por fin, estamos en condiciones de dar el isomorfismo entre $\text{Ind}_{K}^{G} \mathbb{C}$ y $\mathbb{C}[G]e_{\chi}$ . Defina $\phi: \text{Ind}_{K}^{G} \mathbb{C} \to \mathbb{C}[G]e_{\chi}$ como $\phi(v_{g_i}) = g_i e_{\chi}$ . Ampliación de $\phi$ linealmente da un mapa lineal entre los dos espacios. En primer lugar, mostramos $\phi$ es $G$ -lineal.

Supongamos que $gg_i = g_j k$ . Entonces $$\phi(g\cdot v_{g_i}) = \phi(\chi(k)v_{g_j}) = \chi(k) g_j e_{\chi}$$ $$g\cdot T(v_{g_i}) = g(g_i e_{\chi}) = g_j k e_{\chi} = g_j \left(\frac{1}{|K|} \sum_{g\in K} \chi(g^{-1}) kg \right) = g_j \chi(k) \left(\frac{1}{|K|} \sum_{g\in K} \chi(g^{-1} k^{-1}) kg \right)= \chi(k) g_j e_{\chi} $$ donde usamos que $\chi(kg^{-1}k^{-1}) = \chi(g^{-1})$ .

A continuación, mostramos $\phi$ es inyectiva. Supongamos que $\phi\left(\sum a_i v_{g_i} \right) = 0$ . Desde $$\phi\left(\sum a_i v_{g_i} \right) = \sum_{i=1}^{d} a_i g_i e_{\chi} = \frac{1}{|K|}\sum_{g \in G, g = g_i k \text{ where } k\in K} a_i \chi(k^{-1}) g$$ Como los elementos $\{g\}_{g\in G}$ son linealmente independientes en $\mathbb{C}[G]$ esto implica que todos los $a_i$ son 0.

Por último, mostramos $\phi$ es suryectiva. Para cualquier $v = (\sum_{g\in G} a_g g)e_{\chi}$ podemos reescribirlo como $$\sum_{g\in G, g = g_i k \text{ where } k\in K} a_g g_i k e_{\chi} \in \text{span}(g_1 e_{\chi}, \cdots, g_d e_{\chi})$$ ya que, como vimos antes, $ke_{\chi} = \chi(k) e_{\chi}$ . Así, podemos elegir escalares $c_i$ tal que $\phi\left(\sum c_i v_{g_i} \right) =v$ .

Por lo tanto, $\phi$ es $G$ -lineal, inyectiva y suryectiva: es un isomorfismo de representaciones.