En un cine, el administrador caprichoso anuncia que se entregará un boleto gratis a la primera persona en la fila cuyo cumpleaños sea el mismo que alguien en la fila que ya haya comprado un boleto. Tienes la opción de elegir cualquier posición en la línea. Suponiendo que no conoce el cumpleaños de otra persona y que los cumpleaños se distribuyen de manera uniforme a lo largo del año (365 días al año), ¿qué posición en la fila le brinda la mejor oportunidad de obtener un boleto gratis?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La probabilidad, $p(n)$, de conseguir un boleto gratis cuando usted es el $n_{th}$ persona es la línea es:
(la probabilidad de que ninguno de los primeros $n−1$ de la gente comparte las fechas de nacimiento) * (probabilidad de que usted comparte cumpleaños con uno de los primeros $n−1$ personas)
Por eso, $p(n) = [1 *(\frac{364}{365})*(\frac{363}{365}) * ... *(\frac{(365−(n−2))}{365})] * [\frac{(n−1)}{365}]$,
Aquí, $0 <n \leq 365$.
Ahora al menos $n$ tal que $p(n) > p(n+1)$ o $\frac{p(n)}{p(n+1)} > 1$.
Ahora, $\frac{p(n)}{p(n+1)} = \frac{365}{(366−n)} * \frac{(n−1)}{n}$
$\implies 365n − 365 > 366n − n^2 $,
$\implies n^2 − n - 365 > 0$
$\implies (n - \frac{(1+\sqrt(1461)}{2})*(n - \frac{(1-\sqrt(1461)}{2}) > 0$
$\implies n = \frac{(1+\sqrt(1461)}{2} = 19.6115148536 $ ($\because n>0$)
$\implies n = 20$ (techo de valor reconstruido)
Por lo tanto el $20^{th}$ posición maximiza las posibilidades.
Nota: Ver a mi primer comentario a continuación si usted no desea resolver la ecuación cuadrática utilizando el método discriminante.
sewo
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58
Deje que$p_n$ sea la probabilidad de que gane la persona% en$n$ en línea, y que$q_n$ sea la probabilidad de que los primeros$n$ personas tengan cumpleaños diferentes. Luego, para un$n$ genérico tenemos$$ p_{n+1} = q_n \frac{n}{365} \\ p_{n+2} = q_n \frac{365-n}{365} \frac{n+1}{365} $ $ y, por lo tanto,$$ \frac{p_{n+2}}{p_{n+1}} = \frac{(365-n)(n+1)}{365n} $ $ Esto es mayor que$1$ si y solo si$$ (365-n)(n+1) > 365n $ $, que se reorganiza como$$ n(n+1) < 365 $ $ Inicialmente, los$p_n$ s crecen constantemente, pero eventualmente comienzan a caer constantemente hacia$0$. El último$n$ para el cual$n(n+1)<365$ es$18$, por lo que el mayor$p_n$ será$p_{20}$.
kg.
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404
Supongamos que usted está de pie en la ranura $n$. En orden para que usted consiga el boleto gratis necesitas dos cosas: primero, que no duplicados que ha sucedido antes de su turno y el segundo, que es un duplicado.
La probabilidad de que no hay duplicados entre la primera $n-1$ es $$\frac {365!}{365^{n-1}\times (365-(n-1))!}$$
Dado que no hay duplicados se ha producido entre la primera $n-1$, la probabilidad de que el $n^{th}$ es un duplicado, a continuación, $$\frac {n-1}{365}$$
La probabilidad de que el $n^{th}$ posición es que el ganador es el producto de estos.
Es fácil calcular directamente (al menos con asistencia mecánica) y vemos que $n=20$ es óptimo con $$p_{20}=\fbox {0.032319858}$$
Para la comparación, tenemos $p_{19}=0.032207108$ e $p_{21}=0.032249952$. Pero usted tiene algunas de las habitaciones aquí...$p_{15}=0.029798808$ e $p_{25}=0.030355446$, dicen.
