Tratando de entender el significado de la simetría

Question

La imagen de abajo es la solución al siguiente problema tal y como se presenta en mi libro:

Encuentra el área de la región que se encuentra dentro de ambas curvas $$r = 8 + \cos \theta \\r = 8 \cos $$

Según mi libro, es posible resolver el problema de tal manera debido a la "simetría", pero no explica qué significa "simetría". Desde mi comprensión básica del significado de la palabra en el uso cotidiano, puedo ver que una reflexión sobre el eje vertical, en este caso, no afecta a la forma del gráfico, y también puedo ver intuitivamente que $$A = 4\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{2}(6-\cos\theta)^2d\theta$$ Resulta que esto es cierto, pero no es satisfactorio porque era una suposición intuitiva. Entonces, ¿cuál es la definición matemática de simetría y cómo se puede demostrar que este gráfico es simétrico? es decir, ¿cómo explicar matemáticamente que este problema podría resolverse utilizando la "simetría"?

Answer 1

Por pura diversión, dividamos la integral de $0$ a $\pi/2$ en dos integrales, $0$ a $\pi/4$ y $\pi/4$ a $\pi/2$ . Para la segunda integral, haz el cambio de variable $\phi=\pi/2-\theta$ . Tenga en cuenta que $\cos\theta=\sin \phi$ . Así que nuestra integral se convierte en $$\int_0^{\pi/4}\frac{1}{2}(6-\cos\theta)^2\,d\theta + \int_0^{\pi/4}\frac{1}{2}(6-\sin\phi)^2\,d\phi.$$ Vuelva a cambiar la segunda variable a $\theta$ . Entendemos que nuestra zona es $$\frac{1}{2}\int_0^{\pi/4}\left[(6-\cos\theta)^2+(6-\sin\theta)^2\right]\,d\theta.$$ Ampliar, integrar, señalando que $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ . Una antiderivada es $$\frac{1}{2}\left[73\theta -12(\sin\theta-\cos\theta)\right].$$ "Enchufar", señalando que en $0$ tenemos $\sin\theta-\cos\theta=-1$ . Terminamos con $\frac{73\pi}{8} -6$ . A continuación, multiplique por $4$ .

Aprovechamos una "simetría" polar sobre $r=6$ . La ventaja es que no tuvimos que integrar $\cos^2\theta$ . No está claro si valió la pena.

Answer 2

La definición matemática de la simetría se da realmente a través de teoría de grupos pero realmente no es necesario ningún tipo de análisis teórico de grupos en este caso. Una simetría de algo es una transformación que lo deja sin cambios. Por ejemplo, $x^2$ tiene la simetría $x\to -x$ porque $(-x)^2=x^2$ . Haciendo esta transformación dejamos nuestra ecuación sin cambios, por lo que la ecuación tiene esto simetría . Las funciones con esta simetría ( $x\to-x$ ) se llaman incluso las funciones . Las expresiones $r=6\pm\cos(\theta)$ son pares, por lo que también tienen esta particular simetría. Sustitución de $\theta$ con $-\theta$ deja la ecuación intacta, lo que nos da la simetría a través del $x$ -eje. La simetría vertical es algo menos evidente. Para intercambiar todo a través del $y$ -eje, hacemos $\theta\to\pi-\theta$ .

$$r=6\pm\cos(\pi-\theta)$$

Si conoces tus identidades trigonométricas, esto viene a

$$r=6\mp\cos\theta$$

Así que lo que hace esta simetría es intercambiar las ecuaciones: cada ecuación no tiene esta simetría por sí misma, sino que la sistema de ecuaciones lo hace, porque convierte cada curva en la otra. Estas dos condiciones juntas te dicen que puedes tratar cada uno de los cuadrantes en igualdad de condiciones, por lo que sólo necesitas considerar uno para obtener tu respuesta.

Ver qué simetrías tiene una ecuación no suele ser obvio. Es más fácil tener unas cuantas reglas generales que comprobar: simetría a través de los ejes, funciones pares/Impares, simetría hecha por intercambio de variables, y ese tipo de cosas.

Answer 3

La simetría significa lo que crees que significa: decir que una forma es simétrica respecto a la línea $L$ significa que la reflexión a través de $L$ te devuelve la misma forma con la que empezaste. O, dicho de otra manera, la parte de la forma en un lado de la línea $L$ parece igual que la parte del otro lado. Así, en su diagrama, cada curva individual es simétrica respecto a la $x$ -eje. Y lo que es más importante, el área que estamos analizando es simétrica respecto a los dos ejes $x$ -y el eje $y$ -eje.

Podría darte una definición más formal de la simetría, llena de jerga y símbolos, pero no creo que sirva de nada, en esta situación.

Así que, "por simetría", puedes calcular el área del cuadrante superior derecho, y multiplicar esa respuesta por 4 para obtener el área total. El cuadrante superior derecho corresponde a $0 \le \theta \le \tfrac{\pi}2$ , así que ese es el intervalo sobre el que se integra.

El integrante $\tfrac{1}{2}(6-\cos\theta)^2$ es correcta sólo si las ecuaciones de la curva original son $r = 6 \pm \cos\theta$ . Parece que en algún lugar el número "6" se cambió por el "8".

Estamos usando $r = 6 - \cos\theta$ en nuestro integrando porque es la curva que limita la región sombreada en el cuadrante superior derecho. La curva $r = 6 - \cos\theta$ está "dentro" de la curva $r = 6 + \cos\theta$ en el cuadrante superior derecho porque $6 - \cos\theta \le 6 + \cos\theta$ cuando $0 \le \theta \le \tfrac{\pi}2$ . No es necesario adivinar :-).