Producto Tensor: Espacios Hilbert

Question

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Problema

Dado espacios de Hilbert.

En general, sus algebraicas producto tensor no está completa: $$\mathcal{H}\hat{\otimes}\mathcal{K}=\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}\iff\dim\mathcal{H}<\infty\lor\dim\mathcal{K}<\infty$$ Cómo probar esto desde el principio?

Intento

Elija bases ortonormales: $$\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}:=\{\sigma\otimes\tau:\sigma\in\mathcal{S},\tau\in\mathcal{T}\}$$

Uno obtiene algunos de los candidatos: $$\sigma_k\otimes\tau_l\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}:\quad\sum_{kl=1}^\infty\frac{1}{kl}\sigma_k\otimes\tau_l\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{kl}\delta_{kl}\sigma_k\otimes\tau_l$$ Sin embargo, el ex uno se retira: $$\sum_{kl=1}^\infty\frac{1}{kl}\sigma_k\otimes\tau_l=\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\sigma_k\right)\otimes\left(\sum_{l=1}^\infty\frac{1}{l}\tau_l\right)$$ Por lo que no es obvio en absoluto si el último funciona!

Referencia

En: Espacios Vectoriales: Tensor de Producto

Answer 1

El elemento que desea formar es solo un tensor elemental$x\otimes y$ en el producto de tensor algebraico$\mathcal H\otimes\mathcal H$. Entonces quieres tener sumas de esos tipos, y luego límites de ellos.

Answer 2

Escojamos bases ortonormales $\{e_i: i \in I\}$ de % de $\mathcal H$ e $\{f_j : j\in J \}$ de %de$\mathcal K$.

Suponga $\mathcal K$ es finito dimensional, lo $J$ es finito. Deje $x\in \mathcal H \hat\otimes \mathcal K$ y escribo como $$ x=\sum_{j\in J} x_j \otimes f_j \quad \text{con}\quad x_j =\sum_{i\in I} (e_i\otimes e_j, x) \, e_i\,, $$ donde $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ es el producto escalar para ser elegido lineal en el segundo argumento. Esto demuestra que $x\in \mathcal H\otimes \mathcal K$.

Por el contrario, si ambos son infnite dimensiones, podemos identificar un subconjunto de $I$ e $J$ con $\mathbb N$. Entonces $$ $ y=\sum_{n\in \mathbb N} \frac1{n!}e_n\otimes f_n \in \mathcal H\hat\otimes \mathcal K. $$ Mostrar que $y\not \in \mathcal H\otimes \mathcal K$.