Demostrando que$V$ es isomorfo para$W$ iff$\dim V=\dim W$

Question

Deje $V$ e $W$ dos finito de espacios vectoriales sobre $F$.

Demostrar que $V$ es isomorfo a $W$ fib $\dim V=\dim W$

Creo que tengo el enfoque general, pero creo que no es lo suficientemente riguroso.

$\Rightarrow$

Supongamos $V$ es isomorfo a$W$, entonces hay una lineal mapa de $T$ que es un bijection. Deje $\mathbb B=\{v_1,...,v_n\}$ ser una base para $V$. Sabemos que $V=\displaystyle\sum^{n}_{i=1}\alpha_iv_i$. Desde $T$ es un bijection hay n elementos en $W$ tal que $Tv_i=w_i$. Así, para cada $w\in W$ hay una sola representación de la $\displaystyle\sum^{n}_{i=1}\alpha_iw_i$. Así tenemos que el conjunto de $\mathbb K=\{w_1,...,w_n\}$ es linealmente independientes, por lo tanto es la base de lo $\dim V=\dim W$.

$\Leftarrow$

Necesito mostrar que si hay un lineal de mapa entre los dos espacios, entonces es un bijection por lo tanto es isomorfo pero no estoy seguro de que a la palabra derecho.

Answer 1

La izquierda a la derecha implicación es básicamente correcto, pero me gustaría hacerlo de manera diferente, como una consecuencia de los dos hechos generales.

Si $f\colon V\to W$ es lineal en el mapa y $\{v_1,\dots,v_n\}$ es un sistema generador de $V$,, a continuación, $\{f(v_1),\dots,f(v_n)\}$ es un sistema generador de la imagen (o rango) de $f$. Observar que, si $v\in V$,, a continuación,$v=\alpha_1v_1+\dots+\alpha_nv_n$, por lo que $$ f(v)=\alpha_1 f(v_1)+\dots+\alpha_n f(v_n). $$

Si $f\colon V\to W$ es un inyectiva lineal mapa y $\{v_1,\dots,v_n\}$ es un conjunto linealmente independiente, entonces $\{f(v_1),\dots,f(v_n)\}$ es un subconjunto linealmente independiente de $W$; de hecho, si $$ 0=\alpha_1 f(v_1)+\dots+\alpha_n f(v_n) $$ usted puede escribir $$ 0=f(0)=f(\alpha_1v_1+\dots+\alpha_nv_n) $$ y, por inyectividad, $\alpha_1v_1+\dots+\alpha_nv_n=0$, lo $\alpha_1=\dots=\alpha_n=0$.

Ahora, vamos a $f\colon V\to W$ ser lineal y bijective. Si $\{v_1,\dots,v_n\}$ es una base de $V$, es un sistema generador de $V$ linealmente independientes. A continuación, $\{f(v_1),\dots,f(v_n)\}$ es un sistema generador de $\operatorname{im}(f)=W$ ($f$ es surjective) y linealmente independientes de ($f$ es inyectiva).

A la inversa implicación se deduce del hecho de que la asignación de las imágenes de los vectores de una base de $V$ únicamente define lineal en el mapa. Por lo tanto, si $\{v_1,\dots,v_n\}$ e $\{w_1,\dots,w_n\}$ son bases de $V$ e $W$, considera que la única lineal mapa de $f\colon V\to W$ tal que $$ f(v_k)=w_k,\quad k=1,2,\dots,n. $$ A continuación, $f$ es surjective, debido a un sistema generador de la imagen de la $f$ es una base de $W$ por la construcción. La clasificación de nulidad teorema dice que el espacio nulo (kernel) de $f$ tiene dimensión $0$, lo $f$ es inyectiva.

Answer 2

Su prueba de$\Rightarrow$ es técnicamente correcta, pero si yo fuera su maestro, le exigiría que explicara más claramente por qué$\{w_1,\dots,w_n\}$. Creo que tienes la idea, pero solo gasta una frase más en ella.

En la otra dirección, sabes que$\dim V=\dim W$. Para probar que$V$ y$W$ son isomorfos, intente ver primero dos bases, una para$V$ y otra para$W$. Ahora construye un mapeo lineal usando las dos bases y prueba que es biyectivo.

Answer 3

El punto más importante es que usted debe saber primero que la dimensión está bien definido (por finitely generado espacios): el mismo espacio tiene dos finito bases, deben contener el mismo número de vectores. Esto requiere de soom trabajo para probar, pero se supone que se conocen en el enunciado del problema.

Ahora la imagen bajo un isomorfismo de una base es una base; esto puede ser inmediatamente se deduce de las propiedades de la definición de una base. Esa es su $\Rightarrow$ dirección.

Por el contrario, si ambos espacios tienen bases con el mismo número de elementos, hay un bijection $f$ entre las bases. Ahora cualquier mapa a partir de una base de un espacio vectorial $V$ a un espacio vectorial $W$ puede ser el único extendido a una lineal mapa de $\phi: V\to W$. La aplicación que a $f$ y luego a la inversa bijection $f^{-1}$ entre las bases, se obtiene lineal mapas de $\phi: V\to W$ e $\psi: W\to V$ que son inversos el uno del otro (ambas composiciones linealmente ampliar el mapa de identidad en uno de los bases, dando la identidad del operador en su espacio vectorial) lo $\phi$ e $\psi$ son (mutuamente inversas) isomorphisms.

Answer 4

Cómo hacerlo (la lógica):

Tomar el uno-uno y en isomorfismo lineal. Uno-uno ness implica linealmente independientes elementos van de a linealmente independientes elementos bajo el mapa. Así que la imagen de base es linealmente independiente y abarca toda la gama del espacio debido a ontoness. Así, las dimensiones son de rango igual-nulidad.

Ahora para la otra parte : Tomar una base de V y de W y tomar un bijective mapa, una transformación lineal se define por su acción sobre la base, y se obtiene una transformación lineal. Su claramente un isomorfismo.

---

Ok entonces. $V = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$. $V$ y $W$ son isomorfos, significa que no existe $f : V \rightarrow W$ lineal, 1-1 y en.

Reclamo : {f(v_i)}_{1 \leq i \leq n} es linealmente independiente.

Considerar \begin{eqnarray*} & \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i f(v_i) = 0 \\ & \sum_{i = 1}^{n} f_i(\alpha_i v_i) = 0 \\ & \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i v_i = 0 \; (f \mbox{ is } 1-1) \\ & \Rightarrow \alpha_i = 0 \; \forall \; 1 \leq i \leq n. \end{eqnarray*}

$\langle f(v_1), \dots, f(v_n) \rangle = f(V) = W$ as $f$ es sobre. Así que dim W = n.

---

Otra parte : $V = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ e $W = \langle w_1, \dots, w_n \rangle$. Considere la posibilidad de $f$ s.t. $f(v_i) \mapsto w_i$. Esto es claramente lineal y en.

Uno a uno, vamos a probar $Ker f = \{0\}$ (como $f(v) = f(v')$ es lo mismo que $v-v' \in Ker f$). Lo hacemos por la contradicción. Supongamos $v \neq 0 \in Ker f$. Deje $v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$ no todos los $a_i$s de cero.

$f(v) = f(a_1 v_1 + \dots + a_n v_n) = a_1 f(v_1) + \dots + a_n f(v_n) = a_1 w_1 + \dots + a_n w_n = 0$ , lo que implica $a_i = 0$ para todos los $1 \leq i \leq n$ debido a que los elementos de base son linealmente independientes, por definición.

Que hace !