Sabemos que
$$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$
y
$$\frac{d^4}{dx^4}\sin(x)=\sin(x)$$
Cuál es la solución general $f$ a
$$\begin{equation} \begin{split} \frac{d^n}{dx^n}f(x)&=f(x) \\ \frac{d^k}{dx^k}f(x)&\ne f(x)\quad \mathrm{for}\>\>k<n \quad? \end{split} \end{equation}$$
Las soluciones generales son combinaciones lineales de exponenciales complejos: $$f(x)= \sum_{k=1}^n a_ke^{\omega^k x}$$ donde $\omega$ es una primitiva $n^\text{th}$ raíz de la unidad. De este modo, tenemos $$\frac{d^nf}{dx}\!(x) = \sum_{k=1}^n a_k\omega^{kn} e^{\omega^k x} = \sum_{k=1}^n a_ke^{\omega^k x}=f(x)$$
(No estoy seguro de cómo demostrar que esto es totalmente general, pero mi suposición es que se sigue con bastante facilidad por consideraciones de álgebra lineal; en particular tenemos $n$ grados de libertad que es lo que esperaríamos de un $n^\text{th}$ ODE de orden).
Si el conjunto $\{n\}\cup \{k: a_k\neq 0\}$ es mutuamente coprima, entonces ninguna derivada menor es igual a $f$ es un ejercicio bastante sencillo.
Las funciones trigonométricas entran en escena cuando exigimos soluciones reales: puesto que $i$ es una raíz cuarta primitiva de la unidad podemos escribir $$f(x)=\frac{1}{2i}e^{ix}-\frac{1}{2i}e^{-ix}=\sin(x)$$ y de forma similar para el coseno.
Por qué el conjunto que ha descrito es una solución total: 1) $e^{\omega^kx}$ son linealmente independientes si $\omega^k$ son mutuamente distintas; 2) cada una de tales funciones es solución de la ecuación diferencial; 3) recordemos una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes de $n$ -tiene el espacio de soluciones de dimensión $n$ (prueba fácil pasando a un sistema de ecuaciones lineales de primer orden).
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