Identidad del producto para $n^n$

Question

Me encontré con la identidad bastante agradable

\begin {align} && \frac {(-n)^{n-1} \Gamma (n+1)}{(1-n)_{n-1}}&& \tag {1}& \\ \\ &=& \prod _{k=1}^{n-1} \frac {(k+1) n^2}{n^2-k n}&& \tag {2}& \\ \\ &=& \frac {2 n^2}{n^2- n} \cdot\frac {3 n^2}{n^2-2 n} \cdot\frac {4 n^2}{n^2-3 n} \cdots\frac {n^3- 2n^2}{3 n} \cdot\frac {n^3- n^2}{2 n} \cdot n^2&& \tag {3}& \\ \\ &=& \underbrace {n \cdot n \cdot n \cdots n \cdot n \cdot n}_{n \text {veces}}&& \tag {4}& \\ \\ &=&n^{n}&& \tag {5}& \\ \end {align}

donde ${(1-n)_{n-1}}$ en $(1) $ es el símbolo de Pochhammer, donde $(x)_{n}\equiv\dfrac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$ .

Es interesante, Mathematica no simplifica la expresión a pasos $(4)$ & $(5).$ ¿Cómo se demuestra esta identidad, y para qué $n$ es este no ¿el caso?

Answer 1

Pasos (1) a (2)

\begin {align} f(n) &= \frac {(-n)^{n-1} \Gamma (n+1)}{(1-n)_{n-1}} \\ &= \frac {(-n)^{n-1} n!} { \underbrace {(1-n)(1-n+1)(1-n+2) \cdots -2 \cdot -1}_{n-1 \tiny \mbox {factores}} \\ &= \frac {(-n)^{n-1} n!} {(1-n)(2-n)(3-n) \cdots -2 \cdot -1} \\ &= \frac {n^{n-1} n!} {(n-1)(n-2)(n-3) \cdots 2 \cdot 1} \\ \end {align}

aquí podríamos continuar directamente con \begin {alinear} f(n) = \frac {n^{n-1} n!}{(n-1)!} = n^{n-1} n = n^n \end {align}

o complicar las cosas multiplicando nominador y denominador con $n^{n-1}$ \begin {align} f(n) &= \frac {n^{2n-2}n!}{(n^2-n)(n^2-2n)(n^2-3n) \cdots 2n \cdot n} \\ &= \frac {(n^2)^{n-1}n!}{(n^2-n)(n^2-2n)(n^2-3n) \cdots 2n \cdot n} \\ &= \frac {n^2 \cdot 2 n^2 \cdot 3n^2 \cdots (n-2) n^2 \cdot (n-1) n^2 \cdot n}{(n^2-n)(n^2-2n)(n^2-3n) \cdots 2n \cdot n} \\ &= \frac {2 n^2 \cdot 3n^2 \cdots (n-2) n^2 \cdot (n-1) n^2 \cdot n^3}{(n^2-n)(n^2-2n)(n^2-3n) \cdots 2n \cdot n} \\ &= \prod_ {k=1}^{n-1} \frac {(k+1) n^2}{n^2-kn} \end {align}

Pasos $(2)$ a $(5)$

Incluso para $n=2m+2$ y $m\ge 0$ se obtiene $2m+1$ factores: \begin {align} f(n) =& \frac {2 n^2}{n^2- n} \cdot\frac {3 n^2}{n^2-2 n} \cdot\frac {4 n^2}{n^2-3 n} \cdots \frac {n^3-3n^2}{4n} \cdot \frac {n^3- 2n^2}{3 n} \cdot\frac {n^3- n^2}{2 n} \cdot n^2 \\ =& \underbrace { \frac {2 n^2}{n^2- n} \cdot \underbrace { \frac {3 n^2}{n^2-2 n} \cdot \underbrace { \frac {4 n^2}{n^2-3 n} \cdots \frac {n^2- 3n}{4}} \cdot \frac {n^2- 2n}{3}} \cdot\frac {n^2- n}{2}}_{ \tiny \mbox {factor izquierdo} \times \mbox {factor derecho}} \cdot n^2 \\ =&(n^2)^m n^2 \\ =&n^{2m+2} \\ =&n^n \end {align} Nota: Los subrayados significan que $m$ Los pares formados por un factor del lado izquierdo y otro del lado derecho, desde el exterior hacia el interior, se multiplican, dando como resultado $n^2$ cada uno.

Para impar $n=2m+3$ y $m\ge 0$ se obtiene $2m+1+1$ factores: \begin {align} f(n) &=(n^2)^m \cdot \frac {(m+2)n^2}{n^2-(m+1)n} \cdot n^2 \\ &=(n^2)^m \frac {m+2}{(2m+3)-(m+1)} n^3 \\ &=n^{2m+3} \\ &=n^n \end {align} Así que esto parece ser válido para $n\ge 2$ .