El problema: Demuestre que cualquier número entero $n$ se puede escribir como: $$n = \sum_{k = 0}^N \epsilon_k k^4$$ donde $N$ es un número entero no negativo y $\epsilon_k$ está en $\{\pm 1\}$ por cada $k\leq N$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hagen von Eitzen
Puntos
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Se puede bajar el grado por sustracción de temrs consecutivos, es decir $$k^4-(k+1)^4=-4k^3-6k^2-4k+1$$ es sólo de grado $3$ . Siguiente, $$(k^4-(k+1)^4)-((k+2)^4-(k+3)^4)=24k^2+72k+64$$ es sólo de grado $2$ . Finalmente, se encuentra que 16 signos consecutivos $+--+-++--++-+--+$ siempre producen la constante $1536$ . Así que una vez que consigas encontrar esas sumas para $n=0,1,\ldots,1535$ , todos los restantes $n$ puede obtenerse a partir de una suma para obtener $n\bmod 1536$ seguido de una o más repeticiones de esa secuencia de 16 signos. (¿Es posible que haya una secuencia de signos más corta que conduzca a una constante -más pequeña-?)
EDITAR: Este documento muestra el resultado (también para las sumas de cubos y reitera el resultado para las sumas de cuadrados) exhibiendo la secuencia de signos anterior que produce $1536$ y otra secuencia de signos $ -++-+-+--+--++++---++--+$ para producir $2016$ y combinarlos en un muy larga secuencia de signos que reduce el tamaño del paso a $96$ . Por lo tanto, sólo queda encontrar soluciones específicas para $n=0,\ldots,95$ . De hecho, las soluciones especiales sólo para $0,\ldots,48$ ¡son suficientes ya que podemos voltear los carteles! (Oh, acabo de notar que los autores hicieron no utilizar esta última reducción, tsk, tsk)
