Encuentra$\lim_{y\to 1^-} \frac{\sqrt {1-y^2}}{y-1}$ sin L'Hopital.

Question

Necesito ayuda para entender esta pregunta límite. Wolfram dice la respuesta como −∞. No se nos permite utilizar L'Hopital's. Una solución paso a paso sería muy apreciada.

PS

Answer 1

Escribe$1-y^2 = (1-y)(1+y)$ y simplifica

Answer 2

Para$0<y<1$ tenemos$$\frac{\sqrt{1-y^2}}{y-1} =\frac{\sqrt{(1-y)(1+y)}}{y-1}=-\frac{\sqrt{1-y}\sqrt{1+y}}{\sqrt{1-y}\sqrt{1-y}}=-\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}$ $ y$\frac{1+y}{1-y}\to+\infty$ como$y\to 1^-$.

Answer 3

Ok, podemos ir un poco loco aquí. ¿Qué hay de$arcsiny=t$? Entonces,$t$ va al valor de$\pi/2$ (de un solo lado, pero resulta que no importa). Su expresión límite ahora tiene la forma$\frac{cost}{sint-1}$ Multiplica la parte superior e inferior por$sint+1$ crea un$-cos^2t$ en el denominador a través del Teorema de Pitágoras. Y así, la expresión resultante se convierte en$\frac{sint+1}{-cost}$ que no existe para$\pi/2$. Es algo que realmente no se necesita aquí, pero a veces pensar fuera de la caja tampoco es malo ...

Answer 4

Evite confundirse con los signos y realice la sustitución$y-1=-t$; entonces el límite se convierte en $$ \ lim_ {t \ to0 ^ +} \ frac {\ sqrt {1- (1-t) ^ 2}} {- t} = \ lim_ {t \ to0 ^ +} - \ sqrt { \ frac {2t-t ^ 2} {t ^ 2}} = \ lim_ {t \ to0 ^ +} - \ sqrt {\ frac {2} {t} -1} $$