Series de Poincaré y secuencias exactas cortas.

Question

Para un aditivo función de $\lambda$ y una secuencia exacta de los módulos

$0 \rightarrow M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow 0$,

tenemos $\lambda(M_2) = \lambda(M_1) + \lambda(M_3)$, por definición. Si los módulos son clasificados y todos los morfismos conserva grado, luego la de Poincaré de la serie también son aditivos, simplemente mediante el uso de la aditividad de $\lambda$ en cada sumando de la alimentación de la serie. Lo que si la primera de morfismos simplemente lleva homogéneos de grado $d$ a, digamos, los elementos de grado $d+k$ por ejemplo? (y lo mismo para el segundo morfismos) ¿Cuál sería la fórmula para la serie de Poincaré ser en este caso?

Pensé que me gustaría simplemente tienes que utilizar aditividad en una sola secuencia

$0 \rightarrow M_{1_n} \rightarrow M_{2_{n+deg(f)}} \rightarrow M_{3_{n+deg(f)+deg(g)}} \rightarrow 0$,

pero tengo la menor idea de cómo relacionarse la de Poincaré de la serie " desde aquí. (He eliminado mi viejo una pregunta sin respuesta, ya estaba hinchado y se escondió el principal problema que yo estaba tratando de señalar)

Answer 1

Si la primera de morfismos tiene el grado $k$ y en el segundo grado $n$, entonces usted puede en lugar de trabajar con la verdadera secuencia exacta de graduados módulos $$0 \to \Sigma^{k+n} M_1 \to \Sigma^n M_2 \to M_3 \to 0$$

donde $\Sigma^k M$ denota $M$, pero cuando los elementos de grado $d$ en $M$ son interpretados como elementos de grado $d+k$. (Por "genuino" me refiero a los morfismos preservar grado.) Esto tiene el efecto de multiplicar el Poincaré de la serie por los poderes apropiados de $t$ y el resto es sencillo. Más precisamente, dejando $\chi$ denotar la de Poincaré de la serie, obtenemos $$t^n \chi(M_2) = t^{k+n} \chi(M_1) + \chi(M_3).$$