Equivalencia de homotopía entre cocientes por acciones libres.

Question

Deje $X,Y$ dos contráctiles de los espacios. Suponga que hay una acción libre de un grupo de $G$ en ambos espacios.

$X$ e $Y$ son obviamente homotopy equivalente. En particular, se puede considerar que la homotopy de equivalencia dada por las proyecciones

$X\xleftarrow{p_X} X\times Y\xrightarrow{p_Y}Y$

¿Esta equivalencia inducir una equivalencia entre el cociente de los espacios de $X/G$ e $Y/G$?

Mi motivación está demostrando que cualquiera de los dos pequeños discos operads son equivalentes. No voy a definir qué es una operad es porque es irrelevante, pero podemos pensar en una familia de contráctiles espacios de $X_n$ para $n\in\mathbb{N}$. Si cada una de las $X_n$ está equipada con una acción libre de la pura trenza grupo $PB_n$, entonces la familia $X_n/PB_n$ es llamado un poco los discos operad. La forma en que estoy tratando de demostrar que es inspirado por este papel (página 3 del pdf).

Creo que mi pregunta puede ser reducido para que, dados dos espacios de $X_G$ e $Y_G$ con $\pi_1(X)=\pi_1(Y)=G$, un homotopy equivalencia entre el (contráctiles) universal revestimientos $\widetilde{X}_G\to \widetilde{Y}_G$ induce un homotopy equivalencia $X_G\to Y_G$.

Puesto que, en este caso, el unviersal revestimientos son contráctiles, $X_G$ e $Y_G$ son tanto asféricas y la ruta de acceso conectado, por lo que tenemos isomorphisms entre todos homotopy grupos, pero eso no es suficiente para decir que son homotopy equivalente.

Answer 1

No, esto no es cierto, sin hipótesis adicionales. Por ejemplo, supongamos $X$ ser $G$ con la topología indiscreta; a continuación, $G$ actúa en $X$ libremente y $X$ es contráctiles, $X/G$ es un punto. Por otro lado, si $Y=EG$ es el universal bundle en la clasificación de espacio de $G$ entonces $Y/G=BG$ no contráctiles si $G$ es trivial.

Es cierto si se supone que las acciones son lo suficientemente bueno para que $X/G$ e $Y/G$ son de CW-complejos y el cociente mapas de $X\to X/G$ e $Y\to Y/G$ están cubriendo los mapas. De hecho, en ese caso $X/G$ e $Y/G$ son tanto $K(G,1)$ espacios y por lo tanto son homotopy equivalente. O, yendo por el producto, como usted sugiere, la proyección de $X\times Y\to X$ es $G$-equivariant (por la acción del producto en $X\times Y$) y así induce un mapa de $X\times Y/G \to X/G$. Este mapa es un haz de fibras con fibra de $Y$ (es trivializado por encima de cualquier subconjunto abierto de $X/G$ que es uniformemente cubierto por $X\to X/G$) y por lo tanto un homotopy equivalencia desde $Y$ es contráctiles. Asimismo, la otra proyección da un homotopy equivalencia $X\times Y/G\to Y/G$ y la combinación de ellos se obtiene una homotopy equivalencia $X/G\to Y/G$.